Chaos

So schön, dass ich nicht darauf zu treten wage…

Die Spuren im Sand zeugen von der Komplexität des vorangegangenen Sandsturms zum Zeitpunkt als dieser sich beruhigt hatte und diesen Anblick hinterließ. Natürlich lässt sich daraus nicht die Struktur der Luftströmungen ablesen, denn wir haben hier ja nur das Muster des Zusammenwirkens von willenlosen Sandkörnern, die nicht viel mehr als ihre Größe, Dichte (Farbe) und Gewichtskraft einzubringen hatten.
Es ist kein Chaos im Sinne von stochastischer Zufälligkeit entstanden, sondern ein wohgeformtes, von teilweise entmischten hellen und dunklen Sandkörnern untermaltes ästhetisch ansprechendes Rippelfeld.
Ich zögerte auch dann noch, es zu betreten, als das Foto bereits im Kasten war, um es nicht zu zerstören. Diese Hemmung ist natürlich nicht frei von Irrationalität, denn für wen sollte es erhalten bleiben? Die Wahrscheinlichkeit, dass sich in der nächsten halben Stunde jemand hier her verirrt und der sich auch noch von den Strukturen angesprochen gefühlt hätte, war äußerst gering. Außerdem hätte danach der immer noch gemächlich über die Rippel streichende Wind vermutlich schon wieder Neues hervorgebracht.

Natürliche Wasserfarben

Auch die Natur malt zuweilen mit Wasserfarben. Dazu tragen vor allem die grünen und gelben Blätter sowie der durch die Lücken im Blätterdach der Bäume leuchtende blaue Himmel bei, die sich hier im bewegten Wasser eines kleinen Baches spiegeln. Dies ist nur eine Augenblicksaufnahme, die in genau dieser Form wohl kaum wieder zu sehen sein wird, egal wie lange man warten würde. Das heißt nicht, dass sich das fließende Wasser völlig zufällig verhält. Denn die Struktur der Sohle des Baches und die Geschwindigkeit des fließenden Wassers ändern sich nur sehr langsam. Aber das System des fließenden Baches ist chaotisch, will sagen es besitzt viele sogenannte sensitive Punkte, an denen benachbarte Wasserteilchen weit auseinander getrieben werden können, sodass ihre Bahnen nicht einzeln, sondern nur als Ganzes als „berechenbar“ angesehen werden können. Dieses äußert sich auch in den weitgehend ähnlichen Strukturen, die sich in dem Foto zeigen. Sie sind in – sagen wir – einer Minute zwar nicht exakt dieselben aber insofern gleichartig, als man den Eindruck hat, stets das gleiche Bild vor Augen zu haben – einen wohlstrukturierten Ausschnitt aus einem munter dahin plätschernden Bach.

Blütenstaubmuster

Der in unserer Gegend lang vermisste Regen hat ein kurzes Intermezzo eingelegt und zumindest den Blütenstaub vom Dach gespült. Dieser bildet unter den (auf)rührenden letzten Tropfen auf der Wasseroberfläche der Regentonne herrliche, chaotische Muster (siehe Foto). Schaut man genau hin so sieht man am oberen Rand der Mitte des Fotos gerade einen etwas verwischten Tropfen, der im nächsten Moment ins Wasser fällt und ein völlig neues Muster hinterlässt.
Auf dem Foto sind außerdem drei gleichartige Embleme zu erkennen. Wer weiß, woher sie stammen?

Ein Algenteppich als Kunstwerk

Algenteppiche werden in den meisten Fällen als Problem und als Plage angesehen, egal ob sie toxisch sind oder nicht. Man kann aber machen Hervorbringungen dieser Organismen einen gewissen ästhetischen Reiz kaum absprechen.
Der im Foto abgebildete Algenteppich (Ausschnitt) auf einem Gewässer im Münsteraner Schlossgarten existierte nur eine kurze Zeit und zeigte währenddessen immer wieder neue Muster. Weiterlesen →

Buridans Esel revisited

Dieser Esel hier ist nicht Buridans Esel. Denn der muss genau in der Mitte zwischen zwei identischen Heuhaufen (gibt es so etwas überhaupt?) stehend verhungern, weil die Reize, die von jedem der Haufen ausgehen, identisch sind und daher auch exakt dieselbe Wirkung haben. Weiterlesen →

Sanddünen und Emergenz

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Es war einmal ein Apfelmännchen

Es war einmal ein Männchen, das in einer Formel schlummerte. Nun schon seit vielen Jahren, wohl schon seit Anbeginn aller Zeiten. Seine Existenz ist so gewiß, wie die Aussage 2+2=4 gewiß ist. Daran kann keiner etwas ändern, auch der König nicht.
Und selbst wenn die Erde und das ganze Universum einmal vergehen sollten, das Männchen wird in seiner Formel überleben. Deswegen sollte dieses Märchen ausnahmsweise auch nicht mit „Es war einmal…“ beginnen, sondern mit: „Es war, es ist und es wird sein ein Männchen, das in einer Formel schlummert“. Die Formel, in die sich das Männchen verkrochen hat, lautet:
z(n+1) = z(n)^2 + c, (z, c aus C).
Die Menschen, die vor nichts zurückschrecken, die selbst die mumifizierten Pharaonen aus den Pyramiden ans Tageslicht zerren, machen sich daran, auch das ewige Geheimnis des Männchens zu lüften. Dabei schließen sie das Männchen an eine Art Herz- Lungenmaschine, vulgo Computer, an und versuchen auf diese Weise, künstlich erzeugte Lebenszeichen zu erhaschen. Mit großem Aufwand wird dabei das Männchen der ephemeren Substanz der Formelbehausung entsprechend mit Zahlen gefüttert. Nachdem das Männchen diese Zahlen verdaut und wieder abgegeben hat, wird es erneut damit versorgt und zwar solange, bis sich zeigt, ob das Männchen, die jeweilige Zahl bei sich behält und gewissermaßen in körpereigene Substanz verwandelt oder diese abstößt, indem es die Zahl dem Maß der Abstoßung entsprechend mehr oder weniger schnell divergieren läßt, d.h. dem Orkus der Unendlichkeit anheimgibt.
Um diesen Vorgang auf das simple Maß der menschlichen Anschauung zu reduzieren, werden die „körpereigenen“ Zahlen ihrem Wert entsprechend auf einer Zeichenebene angeordnet. Auf diese Weise wächst der Corpus des Männchens allmählich zumindest schemenhaft heran. Wenn man auch noch die Schnelligkeit mit der das Männchen alle nicht körpereigenen Zahlen von sich weist als seinen Lebensraum interpretiert und das entsprechend durch eine Farbe zum Ausdruck bringt, so bekommt man eine Andeutung von der filigranen und vielgestalteten Lebenswelt des Männchens. Ein vollständiges Bild wird man indes mit irdischen Mitteln nicht erreichen. Wenn man sich mathematisch in die Details hineinzoomt, wird man immer wieder auf Strukturen stoßen einschließlich solcher, die dem Männchen bis aufs Haar ähneln. Dieser Zoomprozess ließe sich immer theoretisch aber nicht praktisch ad infinitum fortsetzen, denn dazu würde die eigene Lebenszeit, ja nicht einmal das Alter des Weltalls ausreichen.

Chaos für die Schule!

Nordmeier, Volkhard.; Schlichting, H. Joachim. In: Physik in unserer Zeit 34/1, 32-39 (2003).

Ob Konvektion im Milchkaffee oder Wolkenbildung: Im Alltag gibt es viele nichtlineare Phänomene, die Schüler beobachten und erfolgreich analysieren können. So kann die Schulphysik spannende Themen aus der modernen Chaos-Forschung behandeln.

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Chaos im Sonnensystem

Köhler, Melanie; Nordmeier, Volkhard; Schlichting, H. Joachim. In: Deutsche Physikalische Gesellschaft (Hrsg.): Didaktik der Physik Bremen 2001. Berlin: Lehmanns ISBN 3-931253-87-2

Nachdem durch das kopernikanische System die Erde zum Planeten avanciert und damit die alte Sicherheit eines „festen Grundes“ nicht mehr gegeben war, beschäftigte die Physiker immer wie-der die Frage nach der Stabilität des Planetensystems. Lange vertraute man auf Laplaces Beweis der Stabilität, bis gegen Ende des 19. Jahrhunderts Poincaré zeigte, dass selbst in einem Planetensystem aus nur drei Körpern chaotisches Verhalten eintreten kann. Im Rahmen der Untersuchung dynamischer Systeme hat man sich seit einigen  Jahren dieser Prob-lematik erneut angenommen und vor allem mit Hilfe von  Computersimulationen gezeigt, wie trü-gerisch die Vorstellung einer  vollkommenen Periodizität der Bewegung ist. Am Beispiel des ein-geschränkten  Dreikörperproblems wird die Thematik mit Blick auf einen schulischen Zugang diskutiert.

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SiNIS – Simulation nichtlinearer Systeme

Busse, Oliver; Nordmeier, Volkhard; Schlichting, Joachim. Deutsche Physikalische Gesellschaft (Hrsg.): Didaktik der Physik. Bremen 2001. Berlin: Lehmanns 2001

Das Programm SINIS dient zur Simulation nichtlinearer Systeme. Die Ergebnisse werden als Zeitreihe und im zweidimensionalen Phasenraum dargestellt, der zusätzlich in einer dreidimensionalen Darstellung betrachtet werden kann. Das Potential der Systeme kann ausgegeben und es können Poincaréschnitte angefertigt werden, deren Abhängigkeit von der Phasenlage aus der Poincaré-Animation hervorgeht. Die Bifurkationsszenarien können mit   Feigenbaumdiagrammen untersucht werden. Zur weiteren Auswertung der mit SINIS erhaltenen Ergebnisse können alle erstellten Diagramme in drei verschiedenen Formaten und die ihnen zu Grunde liegenden Daten im  Textformat abgespeichert werden. Hier werden die Ergebnisse der Simulation des Exzentrischen Drehpendels kurz dargestellt. Der Übergang vom geordneten Zustand über chaotische Zustände wieder in einen geordneten Zustand wird demonstriert. Die Abhängigkeit des Poincaréschnitts von der Phasenlage wird gezeigt. Ein 32er-Zyklus wird in Zeit-, Phasendiagramm und Poincaréschnitt  betrachtet.

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Probleme der nichtlinearen Physik und der Nichtgleichgewichtsthermodynamik anhand von Freihandexperimenten

Schlichting, H. Joachim; Nordmeier, Volkhard. In: Physik in der Schule 38/6, 420-424 (2000).

• Zündet man eine Kerze an, so nimmt die Flamme eine für alle Kerzen typische Endgröße an und behält diese bei, solange sie mit Wachs versorgt wird. Warum wird die Flamme nicht größer, wenn genügend Brennstoff zur Verfügung
  steht?
• Ein fallender Gegenstand wird zunächst schneller, bis er schließlich mit einer charakteristischen Endgeschwindigkeit sinkt. Warum behält
  er diese Geschwindigkeit bei?
• In einem Sektglas steigen Blasen auf. Warum lösen sich die Blasen genau dann, wenn sie eine bestimmte Größe erreicht haben?
• Schreckt man ein Ei unter fließendem Wasser ab, so bewegt es in auf den Wasserstrahl zu. Warum wird es nicht zur Seite weggedrängt?

Diese und andere Fragen haben eines gemeinsam: Sie werden meist nicht gestellt. Sie betreffen zwar auffällige Erscheinungen, entziehen sich aber dem klassischen physikalischen Blick. Physikalisch handelt es sich um Vorgänge, bei denen sich Systeme aus dem thermodynamischen Gleichgewicht heraus in einen stationären Nichtgleichgewichtszustand entwickeln, und diesen gegen äußere Störungen zu stabilisieren versuchen. Da der Nichtgleichgewichtszustand
oft mit einer charakteristischen Struktur verbunden ist, spricht man auch von Strukturbildung.

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Die Strukturen der Unordnung – Chaosphysik zwischen Zufall und Notwendigkeit

Schlichting, H. Joachim. In: Essener Unikate 11/1999, S. 9-21.

Wir müssen glauben, daß alles in der Welt eine Ursache habe, so wie die Spinne ihr Netz spinnt, um Fliegen zu fangen. Sie tut dieses, ehe sie weiß, daß es Fliegen in der Welt gibt“. Wie kommt es zu einem solchen Glauben? Darauf gibt es offenbar keine eindeutige Antwort…

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Der flatterhafte Falter der Chaosphysik – Anmerkungen zum Schmetterlingseffekt

Schlichting, H. Joachim. In: Physik in der Schule 36/9, 304 (1998).

Der Weg der neuzeitlichen Physik ist mit Effekten gepflastert: der Doppler-, der Compton-, der Barkhausen- , der Mößbauer-, der Faraday- Effekt und neuerdings der Schmetterlingseffekt. Dieser unterscheidet sich von jenen nicht nur dadurch, daß er keinem großen Physiker, sondern einem kleinen empfindlichen Tier zugeordnet wird. Außerdem entzieht er sich der physikalischen Bestimmung und steht für das, was wir trotz der Kleinheit nicht zu beherrschen vermögen. Damit ist er nicht nur auf die Naturwissenschaften beschränkt. Man kann sogar umgekehrt feststellen, daß der Schmetterlingseffekt in der einen oder anderen Variante lange bevor er im Rahmen der Nichtlinearen Physik wissenschaftlich salonfähig wurde, in den verschiedensten Bereichen, der Philosophie, der Literatur usw. diskutiert wurde.

PDF: Der flatterhafte Falter der Chaosphysik – Anmerkungen zum Schmetterlingseffekt

Physikalisch-philologische Anmerkungen zu Gas und Chaos

Schlichting, H. Joachim. In: Physik in der Schule 36/7-8, 271-72 (1998).

Das ursprünglich griechische Wort „chaos“ bezeichnet die klaffende, gähnende Leere, den unendlich leeren Raum. Daß die „Leere“ nicht mit Nichts gleichgesetzt werden darf, entnimmt man u. a. den Kosmogonien, wonach die Welt aus dem Chaos geboren wurde, das Chaos also als kreativ, alle Gestaltungsmöglichkeiten in sich bergend angesehen wurde. Dem Vakuum der modernen Physik werden ähnliche Eigenschaften zugeschrieben.
Der mittelalterliche Arzt und Alchemist Theophrast von Hohenheim (1493 – 1541), der unter dem Namen Paracelsus bekannt wurde, bezeichnete ganz im Sinne dieser Bedeutung den „atmosphärischen Raum“ als Chaos, das dann „Luftraum“ und schließlich „Luft“ genannt wurde. Luft und Chaos waren für ihn synonym…

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Untersuchungen am magnetischen Doppelpendel – Spaceball.

Silz, I.; Schlichting, H.J.; Nordmeier, V.: Untersuchungen am magnetischen Doppelpendel – Spaceball. In: DPG (Hrsg.): Didaktik der Physik. Vorträge der Frühjahrstagung der DPG – Berlin 1997. Berlin: Lehmanns (1997), S.397-402. ISBN 3-931253-06-6

Galt das Pendel lange Zeit als ein Paradebeispiel für Vorhersagbarkeit und Periodizität, so hat man sich inzwischen teilweise vom Gegenteil überzeugen müssen. Oszillatoren verhalten sich nicht immer wie antizipiert, wie das im folgenden beschriebene Doppelpendel (der sog. „Spaceball„) verdeutlichen soll. Dazu wird es sowohl in einer Computersimulation als auch in Experimenten betrachtet.

PDF:Spaceball

Nichtlineare Physik und Physikunterricht – eine Bestandsaufnahme

Nordmeier, V.; Schlichting, H.J.: Nichtlineare Physik und Physikunterricht – eine Bestandsaufnahme: 35 Experimente zu Synergetik, Fraktalen & Chaos. In: DPG (Hrsg.): Didaktik der Physik. Vorträge der Frühjahrstagung der DPG – Berlin 1997. Berlin: Lehmanns (1997), S.391-396. ISBN 3-931253-06-6

In der Physik und somit auch im Physikunterricht gewinnen heute nichtlineare Phänomene in zunehmendem Maße an Bedeutung. Die Ideen der Synergetik und auch die Erkenntnisse über Fraktale oder das (deterministische) Chaos werden seit einiger Zeit sehr erfolgreich auf viele physikalische Systeme angewandt. Insbesondere für den Physikunterricht bietet dieser Themenkomplex neue Wege zum Verständnis von komplexen Phänomenen, die den konzeptuellen Rahmen der klassischen Physik überschreiten. Im Folgenden soll in einer Art Bestandsaufnahme über die fachdidaktischen Arbeiten zur nichtlinearen Physik berichtet und insbesondere auch auf die Möglichkeiten der experimentellen Begegnung mit diesem Thema eingegangen werden.

Die Unordnung in der Welt ist nur scheinbar,
und wo sie am größten zu seyn scheinet,
da ist die wahre Ordnung noch weit herrlicher,
uns aber nur mehr verborgen.
Johann Heinrich Lambert, 1761

Ein Sandhaufen mit Erinnerung – Experimentelle Untersuchungen zur Selbstorganisierten Kritikalität

Nordmeier, Volkhard; Schlichting, H. Joachim. In: Physik in der Schule 35/5, 192-195 (1997).

Als ein Paradigma für sich selbst organisierende kritische Phänomene hat sich seit einigen Jahren die Theorie der selbstorganisierten Kritikalität (SOK) (vgl. [1], [2]) in der nichtlinearen Physik etabliert.
Nach dieser Theorie entwickeln sich viele Systeme unabhängig von ihrem Anfangszustand ‚von selbst‘ zu einem kritischen stationären Zustand hin. Obwohl  sich hier schon kleinste Störungen über alle Größenordnungen hinweg  bemerkbar machen können, finden diese Systeme stets von selbst in den kritischen Zustand zurück. Ein bekanntes, auch mit Mitteln der Schulphysik erforschbares System stellt beispielsweise der Sandhaufen dar: Je größer er wird, um so steiler werden seine Seiten, jedoch nur so lange, bis die Neigung einen kritischen Wert annimmt, der trotz weiterer Sandzufuhr beibehalten wird.

Im folgenden werden experimentelle Arbeiten zu diesem Themengebiet  vorgestellt, die die typische Dynamik eines Sandhaufens beschreiben und zudem Aufschlüsse über die zugrundeliegenden Gesetzmäßigkeiten der SOK geben.

PDF: Ein Sandhaufen mit Erinnerung – Experimentelle Untersuchungen zur Selbstorganisierten Kritikalität

Wie gesetzmäßig verhalten sich unvorhersehbare Ereignisse

Schlichting, H. Joachim; Nordmeier, Volkhard. In: Physik in der Schule 35/3, 115-119 (1997).

Aus heiterem Himmel fällt Regen, bricht ein Vulkan aus, löst sich eine Lawine, entsteht ein Waldbrand, grassiert eine Epidemie, erschüttert ein Erdbeben das Land. Auf den ersten Blick, scheint diese wahllos aufgezählten, aus den  verschiedensten Bereichen der Umwelt stammenden Phänomene nicht mehr zu verbinden als, aus heiterem Himmel, also unerwartet und unvorhergesehen in den Alltag der ahnungslosen Menschen einzubrechen. Die Unvorhersehbarkeit  derartiger Ereignisse wird traditionellerweise der menschlichen Unfähigkeit zugeschrieben, die zugrunde liegenden komplexen Systeme hinreichend genau zu erfassen. Die wissenschaftlichen Bemühungen sind daher darauf ausgerichtet,  auf der Grundlage möglichst umfassender Datenmengen die für das Systemverhalten wesentlichen Elemente zu erkennen und zu isolieren, um die Variablen auf ein handhabbares Maß zu reduzieren…

PDF: Wie gesetzmäßigverhalten sich unvorhersehbare Ereignisse

Musikalisches Rauschen

Piotrowski, Arndt; Nordmeier, Volkhard; Schlichting, H. Joachim. In: Deutsche Physikalische Gesellschaft (Hrsg.): Didaktik der Physik. Bad Honnef: DPG GmbH 1994

Musik wird oft nicht schön empfunden,
weil sie stets mit Geräusch verbunden.
Wilhelm Busch

Die klassische Physik zeichnet sich dadurch aus, daß sie das Verhalten von Systemen vorhersagen kann. Das setzt eine deterministische Dynamik voraus. Seitdem im Rahmen der nichtlinearen Physik auch deterministische Systeme diskutiert werden, die ein irreguläres, chaotisches Verhalten zeigen, trifft die kausale Verknüpfung von Determinismus und Vorhersagbarkeit nur noch  bedingt zu: Irreguläre Signale müssen nicht notwendig stochastisch sein, sondern können auch einem nichtlinearen deterministischen System entstammen. Weiterlesen →

Chaos in Platos Höhle

Schlichting, H. Joachim; Backhaus, Udo. In: Praxis der Naturwissenschaften – Physik 42/4, 41 (1993).

Ein wesentliches Ziel der neuzeitlichen Naturwissenschaften ist die Vorhersage. Dieses Ziel wurde dadurch erreicht, daß man nach Mechanismen suchte, die hinter den Erscheinungen wirken und auf der Grundlage einer strengen Verknüpfung von Ursache und Wirkung für den Ablauf des beobachtbaren Geschehens sorgen. Indem der Mechanismus bzw. die Dynamik des betrachteten Systems in einer Differentialgleichung formalisiert wird, genügt die alleinige Kenntnis des Zustandes eines Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt, um den Zustand zu einem beliebigen anderen Zeitpunkt zu berechnen.

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Der chaotische Prellball

Buttkus, Beate; Schlichting, H. Joachim; Nordmeier, Volkhard: In: G. Kurz: Didaktik der Physik. Vorträge der Frühjahrstagung der DPG Esslingen 1993.

In dieser Aussage von Friedrich Hund wird deutlich, wie schwer es ist, neue Gedanken und Konzepte in die Naturwissenschaften einzubringen. Hund sagte diese Worte Anfang der 60 er Jahre. Aber erst in den letzten 10 Jahren schickt sieh die nichtlineare Physik an, sich innerhalb der Naturwissenschaften zu etablieren. Dieser Vorgang vollzieht sich jedoch gewissermaßen im Blickpunkt der  Öffentlichkeit. In spektakulärer Weise begleiten die Massenmedien und der Sachbuchmarkt die Entwicklungen innerhalb der Naturwissenschaften. Dies ist eine Herausforderung an die Schulphysik wie sie wohl ihresgleichen sucht: Welche Möglichkeit gibt es die Schülerinnen und Schüler an die wesentlichen Aussagen heranzuführen?

PDF: Der chaotische Prellball

Physik zwischen Zufall und Notwendigkeit

Schlichting, H. Joachim. In: Praxis der Naturwissenschaften – Physik 42/1, 35 (1993).

„Wir müssen glauben, daß alles in der Welt eine Ursache habe, so wie die Spinne ihr Netz spinnt, um Fliegen zu fangen. Sie tut dieses, ehe sie weiß, daß es Fliegen in der Welt gibt“ [1, S.181]. Wie kommt es zu einem solchen Glauben? Darauf gibt es offenbar keine eindeutige Antwort. Im Anschluß an David Hume geht man davon aus, daß das Denken in Ursache- Wirkungs- Kategorien, das sogenannte kausale Denken, auf Erfahrung beruht: In dem Maße, wie der Mensch aufgrund wiederkehrender Ereignisse, eine zeitliche Abfolge in den Tatsachen der Welt erfährt und sich daran gewöhnt, gewinnt er die Überzeugung, daß zeitlich spätere Ereignisse von zeitlich früheren Ereignissen verursacht bzw. hervorgerufen werden. Indem diese Sehweise auf alle Vorgänge verallgemeinert wird, gewinnt die Welt eine kausale Struktur. „Wäre da der geringste Verdacht, daß der Lauf der Natur sich ändern könnte und daß die Vergangenheit nicht Regel für die Zukunft wäre, so würde alle Erfahrung nutzlos und könnte zu keinerlei Folgerungen oder Schlüssen führen“. Demgegenüber wird nach Imanuel Kant die durchgängige kausale Verknüpfung der Erscheinungen als denknotwendig angesehen. Die Welt erscheint „a priori“ kausal organisiert: „Alle Veränderungengeschehen nach dem Gesetze der Verknüpfung der Ursache und Wirkung“, und: „Alles, was geschieht, setzt voraus, worauf es nach einer Regel folgt“ …

PDF: Physik zwischen Zufall und Notwendigkeit

Schöne fraktale Welt – Annäherungen an ein neues Konzept der Naturwissenschaften

Schlichting, H. Joachim. In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 45/4, 202-214 (1992).

Das Konzept des Fraktals stellt eine große Herausforderung für fast alle Bereiche der Naturwissenschaften und darüber hinaus dar. Gleichzeitig hat es wie kaum eine zweite naturwissenschaftliche Idee Publizität innerhalb einer breiteren Öffentlichkeit erfahren. Die Schulphysik kann sich diesen Entwicklungen nicht verschließen. Bisher erschienene Aufsätze haben sich meist mit einzelnen Aspekten der Fraktale befaßt. Der vorliegende Beitrag möchte in einer Art Überblick den inneren Zusammenhang zwischen den zahlreichen Facetten des Fraktals darstellen, ohne jedoch Vollständigkeit anzustreben. Dabei wird gleichzeitig versucht, die hinter der Idee des Fraktals stehende Anschauung zu skizzieren, wie sie sich unter anderem auch in nicht naturwissenschaftlichen Kontexten spiegelt.

PDF: Schöne fraktale_welt – Annäherungen an ein neues Konzept

Arnolds Katze im Wunderland

Backhaus, Udo; Schlichting, H. Joachim: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 45/1,3 (1992).

Deterministische dynamische System können sich chaotisch verhalten. Aber das hindert sie nicht daran, nach hinreichend langer Zeit dem Ausgangspunkt wieder beliebig nahe zu kommen. Eine solche Poincarésche Wiederkehr wird an einer einfachen Abbildung veranschaulicht.

PDF: Arnolds Katze im Wunderland

Chaos beim Wasserrad – ein einfaches mechanisches Modell für das Lorenzsystem

Schlichting, H. Joachim; Backhaus, Udo; Küpker, H.G. In: Physik und Didaktik 19/3, 196-219 (1991).

Das hier untersuchte Wasserrad ist ein dissipatives, nichtlineares System, das durch einen Antrieb in periodische und nichtperiodische Bewegungen versetzt werden kann. Im Unterschied zu den vorher beschriebenen Systemen ist der Antrieb selbst jedoch nicht periodisch, dem System kann daher von außen kein Zeitrhythmus aufgeprägt werden. Das Wasserrad muß seinen Rhythmus selbst finden, indem es die erzwungenen Bewegungen mit den Systemparametern
und dem Energieangebot in Einklang bringt.. Man nennt ein solches System autonom.

PDF: Chaos beim Wasserrad – ein einfaches mechanisches Modell für das Lorenzsystem

Strukturen im Chaos – Einfache Systeme als Zugang zu einem neuen Forschungsbereich der modernen Physik

Schlichting, H. Joachim. In: physica didactica 18/1, 14-44 (1991).

Das Chaos ist auch nicht mehr, was es mal war, nämlich: das Ungeordnete, Wirre, Gesetzlose, Formlose, Zufällige, Tolle… Seit einiger Zeit wird es mit Schönheit, Kreativität, Struktur und Ordnung in Verbindung gebracht: „Das Tolle neben dem Schönen“ (Jean Paul) also. Die „Schönheit im Cha-os“ ist eines der Schlagworte, mit denen sich ein in den letzten Jahren ebenso sprunghaft wie chaotisch entwickelnder Zweig der naturwissenschaftlichen Forschung in einer breiteren Öffentlichkeit Auf-merksamkeit zu verschaffen sucht. Nicht wenige Wissenschaftler sehen in der Chaosforschung mehr als nur eine Herausforderung insbesondere der klassisch geprägten Naturwissenschaften. Schon ist von einer konzeptuellen Revolution im Sinne T.S. Kuhns die Rede, die eine

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Auf der Suche nach Ordnung im Chaos

Backhaus,Udo; Schlichting, H. Joachim . In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 43/8 (1990)  S. 456 – 466

Der Zugang zur Chaosphysik wird vor allem durch die Vielzahl neuer und auf den ersten Blick unzusammenhängend erscheinender Aspekte erschwert. Weiterlesen →

Ein Karussell mit chaotischen Möglichkeiten

Backhaus, Udo; Schlichting, H. Joachim. In: Praxis der Naturwissenschaften- Physik 36/8 (1987).

Der Erfolg der klassischen Physik liegt vor allem darin begründet, daß sie die zukünftige Entwicklung eines Systems, dessen Anfangsbedingungen und Dynamik (Bewegungsgleichung) bekannt sind, voraussagen kann. Dies gilt insbesondere für die Bestimmung zukünftiger Planetenbewegungen, Mondfinsternisse und ähnlicher Phänomene. Möchte man jedoch das Verhalten von Gasmolekülen oder von turbulenten Flüssigkeitsströmen vorhersagen, so
kommt man über Wahrscheinlichkeitsaussagen nicht hinaus, obwohl auch dort die physikalischen Gesetze gelten. Bis vor nicht allzu langer Zeit war man überzeugt, daß unser unvollständiges Wissen über derart komplexe Systeme die Ursache dafür sei und eine immer genauere Voraussagbarkeit mit Hilfe wachsender Datenmengen und mit Computern möglich sei. Diese Überzeugung wurde inzwischen stark erschüttert. Man hat nämlich entdeckt, daß selbst einfache deterministische Systeme sich zufällig verhalten können. Diese Zufälligkeit ist in einer Weise fundamental, daß sie auch durch noch so umfangreiche Informationen nicht beseitigt werden kann. Man spricht daher von chaotischem Verhalten oder kurz von Chaos.

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Regular and Chaotic Oscillations of a Rotating Pendulum

Backhaus, Udo; Schlichting, H. Joachim. In: G. Marx (Ed.): Chaos in Education II. Vesprem (Hungary) 1987, pp. 312-317.

One reason of the great success of classical physics is the ability to predict the evolution of a system from which the dynamics (equation of motion) and the initial values are known. But this ability falls with  chaotic systems.  Because of the exponential Increase of small errors in the initial conditions of a chaotic system every prediction of its behaviour becomes Impossible in shortest time. For a long time physicists thought that the chaotic behaviour of a system is due to its complexity. But recently, one found that very simple systems may become chaotic, too. As important as this realisation is the manner of the transition from order to chaos. This transition follows some general patterns: the system announces the breakdown of the deterministic behaviour. Of course, the knowledge of these patterns is of great practical Interest. The rotating pendulum presented here allows to study the transitions between regular and chaotic motions by means of computational simulations. Thereby, complete Feigenbaum scenarios and other transitions may be obtained. The numerical resuits are described in more detail in.

PDF: Regular and Chaotic Oscillations of a Rotating Pendulum