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Fraktal

Diese Schlagwort ist 24 Beiträgen zugeordnet

Fraktale Rinnsale am Sandstrand

Diesen Stein hatte ich am Sandstrand vor Eintreten der nächtlichen Flut ein Stück in den Sand eines leicht abschüssigen Überflutungsgebietes am Strand gedrückt, sodass er nicht gleich vom Ansturm der Flut weggeschoben würde. Am nächsten Morgen sah es dann so wie auf dem Foto aus. Der Stein ist nicht nur tiefer in den Sand eingesunken, sondern sammelt in der Vertiefung, in der er sich befindet, das im Sand gespeicherte Wasser der Umgebung, das dann an der tiefsten Stelle (im oberen Bildteil) zum Meer hin überläuft.  Weiterlesen

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Die Pracht der kleinsten Dinge

Die meisten Menschen wissen gar nicht,
wie schön die Welt ist und wie viel Pracht
in den kleinsten Dingen,
einer blume,
einem Stein,
einer Baumrinde
oder einem Birkenblatt sich offenbart.

Rainer Maria Rilke Weiterlesen

Die fraktale Welt einer Trompete

Neben den akustischen Klängen, die durch den Schalltrichter einer Trompete in die Welt entlassen werden und in unser Ohr gelangen, hat derselbe Trichter auch einige optische Ansichten parat, die für den einen oder die andere ein visuelles Erlebnis darstellen. Mich haben die meist spiegelblanken glänzenden Metallkörper schon immer fasziniert, hatte aber bislang keine Gelegenheit wahrgenommen, ihnen etwas mehr Aufmerksamk Weiterlesen

Eisfraktal

Wir blicken auf einen zugefrorenen Teich mit einer dendritischen Struktur. Sie erinnert an ähnliche fraktale Gebilde in ganz anderen Zusammenhängen. In den meisten Fällen kommt sie dadurch zustande, dass ein Fluid mit einer geringeren Viskosität ein Fluid mit einer höheren Viskosiät durchdringt. Weiterlesen

Ein mineralischer Weihnachtsbaum, aus Zufall und Notwendigkeit

Weihnachtsbaum-2017Obwohl die Bäumchen, die hier vor circa 160 Millionen Jahren im Solnhofener Plattenkalk gewachsen sind, wie Versteinerungen von Pflanzen aussehen (vgl. Weihnachtsbaum des Vorjahres), handelt es sich um Eisen- und Manganabscheidungen auf Kluftflächen des Kalks. Die bauartige Struktur erinnert mich in diesen Tagen an den Weihnachtsbaum. Diese „Weihnachtsbäumchen“ haben zwar keinen biologischen Ursprung, sondern verdanken sich rein chemisch-mineralogischen Vorgängen. Dafür sind sie aber steinalt und nadeln nicht. Weiterlesen

Rätselfoto des Monats Oktober 2017

Sonne oder Mond?


Erklärung zum Rätselfoto des Monats September 2017
Frage:
Was wächst denn hier; und wie?

Längs einer Linie wachsen Bäumchen – fast möchte man sagen sich gegenseitig reflektierend – längs einer Linie. Auf den ersten Blick würde man vielleicht auf eine Versteinerung tippen. Obwohl die Richtung richtig ist, was das Alter betrifft, so ist die Entstehungsursache völlig verschieden. Hier blickt man auf keine versteinerten Pflanzen, obwohl es sich ebenfalls um dendritische (dendrites: zum Baum gehörend) Objekte handelt. Diese Dendriten sind vor circa 160 Millionen Jahren im Solnhofener Plattenkalk gewachsen. Es handelt es sich um Eisen- und Manganabscheidungenen auf Kluftflächen des Kalks. Entstanden sind sie dadurch, dass mineralreiches Wasser mit hohen Konzentrationen von Eisen und Mangan von Ritzen im Gestein ausgehend in mikroskopisch kleine Hohlräume zwischen den Kalksteinlagen und gedrungen sind und durch sogenanntes diffusionsbegrenztes Wachstum (DLA) solche fraktalen Muster hervorgebracht haben.
Der Vorgang lässt sich übrigens in einfachen Freihandexperimenten nachvollziehen ohne Äonen auf das Ergebnis warten zu müssen.

Pfeffer und gezackte Linien (Lichtenberg 3)

lichtenberg_figuren_rvDer erste deutsche Experimentalphysiker Georg Christoph Lichtenberg (1742 – 1799) hat sich nach eigenem Bekunden in seiner experimentellen Forschung mit seltsamen Geschöpfen auf der Grenze zwischen Luft und Festkörper befasst. Als jemand der „Pfeffer und gezackte Linien“ (F 995) liebt, stößt er wohl als erster Physiker im Rahmen seiner Experimente zur Elektrostatik auf nichtlineare fraktale Muster, die fortan seinen Namen tragen sollten. Weiterlesen

Rätselfoto des Monats September 2017

Was wächst hier?


Erklärung zum Rätselfoto des Monats August 2017
Frage:
Wie könnte dieses Muster in einer Dünenlandschaft entstanden sein?

Antwort: Was hier fast wie eine Pareidolie eines menschlichen Oberkörpers daherkommt, ist ein Foto eines Ausschnitts aus einer Dünenlandschaft am Strand. Entstanden ist die Struktur folgendermaßen. Nach einem kräftigen Regenguss, durch den die oberen Sandschichten durchnässt wurden, sind Menschen darüber gegangen und haben den Boden an bestimmten Stellen unter ihren Tritten verfestigt. Anschließend sind die oberen Sandschichten wieder getrocknet. Der nachts aufkommende Wind hat den Sand wie gewohnt vor sich hergetrieben und neue Dünenlandschaften gestaltet.
Allerdings konnten nur die trockenen und relativ lockeren Sandkörner weggetragen werden. Folglich sind insbesondere die durch die Tritte der Menschen verfestigten Sandpartien erhalten geblieben. Die verdichtende Wirkung eines Fußabdrucks sieht man in der Mitte des Fotos: Links der Abdruck des Vorfußes und rechts der Ferse. Die Schichtung aus dunklem und hellem Sand zeigt an, dass hier durch Verdichtung höhere Schichten stehen geblieben sind als in der Umgebung. Überhaupt ist die Morphologie ein Abbild der Festigkeit des Untergrunds zur Zeit, als der Wind darüber fegte.
Die unterschiedliche Färbung des Sandes zeigt ähnlich wie die Jahresringe eines Baumes die Vorgeschichte der Sandschichtung an. Offenbar wechseln sich Schichten weißen und dunklen Sandes ab.
Wie es zu dieser Schichtung kommt ist eine weitere interessante Frage. Der Sand besteht aus Partikeln unterschiedlicher Größe, Form, Dichte, Farbe etc. von denen rein visuell vor allem die dunklen und hellen Partikel ins Auge fallen. Normalerweise treten die verschiedenen Sandarten gemischt auf und verleihen dem Sand seine charakteristische grau-gelbliche Färbung. Unter dem Einfluss mechanischer Kräfte, also im Sandsturm und bei Lawinenabgängen an den leeseitigen Dünenabhängen kommt es mindestens zu partiellen Entmischungen, die dann besonders gut zu sehen sind, wenn unterschiedliche Farben der unterschiedlichen Sandarten im Spiel sind. Diese Streifenbildung nennt man in der Physik der granularen Materie auch Stratifikation.
Die Ursachen für die Streifenbildung können verschieden sein und hängen von den jeweiligen physikalischen Unterschieden (Größe, Dichte, Form) der Teilchen ab. Einen Eindruck davon kann man sich verschaffen, wenn man eine Mischung zweier Granulate, z.B. Mohnkörner und Zucker an einer Seite in ein flaches durchsichtiges Gefäß, z.B. eine transparente CD-Hülle, fließen lässt. Es ergeben sich deutliche Streifen, wie das untere Foto zeigt.

Die Wahrheit liegt meist am Rande

Leuchtende_BlätterSelbst wenn man nur den geometrischen Aspekt einer Landesgrenze betrachtet, so findet man in ihrer Gestalt die durch geologische, politische und andere Vorgänge bestimmte meist wechselvolle Geschichte einbeschrieben. Die „unendliche Geschichte“ einer Landesgrenze steht daher vielleicht nicht zufällig am Beginn einer Forschungsrichtung, die sich im weiteren und engeren Sinne mit Grenzfragen befaßt. Weiterlesen

Stets aufs neu geteilte Gänge

BlattadernDas zierlich eingekerbt-, und nett-gezackte Laub,
Wodurch die Adern sich bis an die Ecken,
Voll klares Safts, wie Blut, erstrecken,
Ist recht verwunderlich geweb´t. Solch eine Menge
Stets wiederum aufs neu geteilter zarter Gänge
Durchflicht das ganz Blat, wodurch es sich vereint,
Und, wie ein grünes Fleisch, voll grüner Adern scheint.
Ein Blat beschattet oft das ander´, und vermehret,
Durch seine dunk´le Zierlichkeit
Der Schatten, Bildungen und Farben Unterscheid.

Brockes, Barthold, Hinrich (1680 – 1747) Weiterlesen

Paradiesgarten fraktaler Kristallmalerei

WinterblickNachdem der Winter nun doch noch Einzug gehalten hat, zeigt er sich auch gleich von seiner schönen Seite. Die einfach verglasten Fenster nichtgeheizter Räume borden nur so über von Eisblumen, die insbesondere in den Farben des Sonnenaufgangs von besonderem Reiz sind. Mit ihren organischen Formen stehen sie den entlaubten Bäumen, die ebenfalls auf dem Foto zu sehen sind in nichts nach. Vielmehr passen sie gut zusammen. Weiterlesen

Konvergierende Grenzlinien

Grenzlinien„Auf der Grenze liegen immer die seltsamsten Geschöpfe“, sagt Georg Christoph Lichtenberg (1732 – 1799). Dieser Satz fällt mir beim Blick auf die fluchtenden Grenzlinien ein, als ich von einer Sanddüne aus die Menschen am Saum des Meeres entlanggehen sehe und offenbar mehr oder weniger bewusst das Auf-der-Grenze-Spazieren“ genießen. Was von hier oben als gerade Linie aussieht ist, aus der unmittelbaren Nähe betrachtet ein rhythmisches Spiel der auf den Sandstrand auslaufenden Meereswellen, die von den Menschen je nach „Temperament“ entweder gerade gemieden werden oder deren Wechselbad man gerade genießen möchte. Weiterlesen

In stetem Fluss

ClipSchlichting, H. Joachim. In: Spektrum der Wissenschaft 6 (2014), S. 44 – 46

Von Flüssigkeiten durchströmte Netzwerke bilden komplexe Strukturen aus, folgen dabei aber einem einfachen ordnenden Prinzip: der Minimierung der Energie-»Verluste« pro Zeiteinheit.

Die Natur wählt den
kürzesten möglichen Weg.
Aristoteles (384 – 322 v. Chr.)

PDF: In stetem Fluss

Wer mit dem Flussnetzwerk selbst ein wenig „spielen“ möchte, sei auf eine Simulation im Internet verwiesen, die Dr. Stefan Loheider auf Anregung durch diesen Beitrags programmiert hat.

 

Der Blumen im Winter sah

Eisblumen_DSC08132rvSchlichting, H. Joachim. In: Spektrum der Wissenschaft 2 (2010), S. 39

Beim Wachsen von Eisblumen am Fenster wirken Zufall und Notwendigkeit zusammen.

Doch an den Fensterscheiben, Wer malte die Blätter da?
Ihr lacht wohl über den Träumer, Der Blumen im Winter sah?
Wilhelm Müller (1794 – 1827)

Heute muss man sie wohl als bedrohte Art ansehen, denn ihre größten Feinde – Zentralheizungen und wärmedämmende Doppelscheiben – haben sich weithin etabliert. In früheren Wintern jedoch gehörten Eisblumen am Fenster zu einer alltäglichen Erscheinung: »Es war ein ziemlich kalter Tag und draußen lag fußhoher Schnee. Drinnen aber war es behaglich … die Wanduhr ging in starkem Schlag und der Kachelofen tat das Seine … während Line weitab an dem ganz mit Eisblumen überdeckten Fenster saß und sich ein Guckloch gepustet hatte, durch das sie nun bequem sehen konnte, was auf der Straße vorging.« (Theodor Fontane, Unterm Birnbaum, 1885).
Zuvor war, davon dürfen wir ausgehen, die Temperatur der Glasscheibe allmählich immer tiefer gesunken. Zunächst unter den Taupunkt. Ab diesem Zeitpunkt ist mehr Wasserdampf in der Luft, als diese fassen kann, so dass er sich verflüssigt und kondensiert, sich also in Form winziger Tröpfchen an die Scheibe anlagert. Sobald deren Temperatur nun auch den Gefrierpunkt des Wassers unterschreitet – um mindestens ein bis zwei Grad –, kristallisieren sie schließlich zu Eis. Manchmal kommt es auch gar nicht erst zum Zwischenschritt des Verflüssigens. Denn unter bestimmten Bedingungen geht Wasserdampf auf direktem Weg in Eis über, er resublimiert.
Der Ursprung der Eisblumen liegt in winzigen Kristallen mit einer für Wassermoleküle charakteristischen sechseckigen Struktur. Sie entstehen an Kondensationskeimen, etwa Schmutzpartikeln, an denen sich Tröpfchen beziehungsweise Kristalle spontan bilden können. Ihre Form beeinflusst das Kristallwachstum zunächst in zufälliger Weise, bald aber kommt die Notwendigkeit hinzu. Denn wo die Kristallisation stattfindet, wird auch Wärme abgegeben, und zwar ganz schön viel.
Es ist dieselbe Menge, die man Eis zum Auftauen zuführen muss – und jeder weiß, wie lange sich Eisstücke im Erfrischungsgetränk halten. Das Kristallwachstum käme sogar zum Stillstand, würde die frei werdende Wärme nicht schnell genug abtransportiert. Das heißt aber auch: Der Kristall wächst bevorzugt dorthin, wo die Wärme am besten abgegeben werden kann, nämlich weg von seinem Ursprung. Es bilden sich darum exponierte Spitzen, an deren mitwachsenden Flanken die Wahrscheinlichkeit für weitere Anlagerungen ebenfalls steigt. Diese Nebenäste wachsen ihrerseits weder entlang der Hauptspitze noch im rechten Winkel dazu, sondern suchen stattdessen einen »schrägen« Kompromiss. Nur so können auch sie die entstehende Wärme optimal abgeben.
Allmählich entsteht ein farnartiges Gebilde, das ganz zum Schluss, wenn auch die Zwischenräume gefrieren, eine blattartige Form gewinnt. Aus dem Zusammenwirken von Zufall und Notwendigkeit sind Strukturen entstanden, wie wir sie auch bei (biologischen) Blättern und Blumen beobachten können: Sie ähneln einander zwar, sind aber nie identisch. Erfahrungsgemäß bilden sich die schönsten Formen bei einer Scheibentemperatur von etwa minus zwei Grad Celsius. Wirkliche Vielfalt entfaltet sich zudem nur, wenn das Fenster leicht verschmutzt ist und genügend Kondensationskeime vorhanden sind. Sauberkeit ist für Schönheit also keine Voraussetzung.

Kann die Auseinandersetzung mit (moderner) Kunst beim Lehren von Physik helfen?

Schlichting, H. Joachim. In: Dietmar Hötteke (Hg.): Naturwissenschaftlicher Unterricht im internationalen Vergleich. Berlin: Lit 2007, S. 409 – 411.

Wenn man Physik und Kunst zusammen denkt, überwiegen normalerweise die Unterschiede. Physik gestattet keinen Raum für Gefühle. Deren Ort sind die Kunst, die Literatur und die Musik. Auf den zweiten Blick wird jedoch klar, dass Physik ohne Gefühle nur die halbe Wahrheit ist…

PDF: Kann die Auseinandersetzung mit (moderner) Kunst beim Lehren von Physik helfen?

Thermodynamik und Strukturbildung am Beispiel der Entstehung eines Flussnetzwerkes

Einzug_Watt1Schlichting, H. Joachim; Nordmeier, V. In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, 53/8, 450-454 (2000).

Mit allgemeinen thermodynamischen Argumenten wird versucht, eine Antwort auf die Frage zu geben, warum Flussnetzwerke (wie sie z. B. bei der natürlichen Entwässerung von Flächen entstehen) jene typischen verästelten, fraktalen Muster ausbilden. Ausschlaggebend für derartige Strukturbildungsprozesse ist, dass die Energiedissipationsrate des fließenden Wassers minimal wird. Diese Aussage wird in einem einfachen Algorithmus zur Simulation von Flussnetzwerken umgesetzt.

PDF: Thermodynamik und Strukturbildung am Beispiel der Entstehung eines Flussnetzwerkes

Der flatterhafte Falter der Chaosphysik – Anmerkungen zum Schmetterlingseffekt

Schlichting, H. Joachim. In: Physik in der Schule 36/9, 304 (1998).

Der Weg der neuzeitlichen Physik ist mit Effekten gepflastert: der Doppler-, der Compton-, der Barkhausen- , der Mößbauer-, der Faraday- Effekt und neuerdings der Schmetterlingseffekt. Dieser unterscheidet sich von jenen nicht nur dadurch, daß er keinem großen Physiker, sondern einem kleinen empfindlichen Tier zugeordnet wird. Außerdem entzieht er sich der physikalischen Bestimmung und steht für das, was wir trotz der Kleinheit nicht zu beherrschen vermögen. Damit ist er nicht nur auf die Naturwissenschaften beschränkt. Man kann sogar umgekehrt feststellen, daß der Schmetterlingseffekt in der einen oder anderen Variante lange bevor er im Rahmen der Nichtlinearen Physik wissenschaftlich salonfähig wurde, in den verschiedensten Bereichen, der Philosophie, der Literatur usw. diskutiert wurde.

PDF: Der flatterhafte Falter der Chaosphysik – Anmerkungen zum Schmetterlingseffekt

Fraktale Strukturbildung in (fast) Freihandexperimenten

Farbfraktal014Nordmeier, Volkhard, Schlichting, H. Joachim. In: Deutsche Physikalische Gesellschaft (Hrsg.): Didaktik der Physik. Vorträge der Frühjahrstagung der DPG Duisburg 1995, S. 434 -339 (ISSN 1430- 564X)

Eine große Klasse von Fraktalen entsteht bei Wachstumsprozessen fernab eines Gleichgewichtszustandes. Weiterlesen

Auf der Grenze liegen immer die seltsamsten Geschöpfe – Nichtlineare Systeme aus der Perspektive ihrer fraktalen Grenzen.

Schlichting, H. Joachim. In: Der Mathematische und Naturwissenschaftliche Unterricht 47/8, 451 (1994).

Dissipative Systeme halten mit Hilfe ihrer Grenzen eine spezifische Differenz zur Umgebung aufrecht.. Das gelingt ihnen durch Dissipation von Energie aufgrund eines Energie- und Stoffaustausches durch die Grenzen hindurch. Für zahlreiche Syste-me kommt es darauf an, dass die Grenze mit der Umgebung (bzw. einem anderen System) möglichst groß ist, so dass im Idealfall jeder Punkt des Systems an der Grenze liegt. Dadurch ergeben sich fraktale Strukturen, bei denen sich die Morphologie der Grenzen und die Stoffwechselvorgänge in ge-wisser Weise gegenseitig bestimmen…

PDF: Auf der Grenze

Musikalisches Rauschen

Piotrowski, Arndt; Nordmeier, Volkhard; Schlichting, H. Joachim. In: Deutsche Physikalische Gesellschaft (Hrsg.): Didaktik der Physik. Bad Honnef: DPG GmbH 1994

Musik wird oft nicht schön empfunden,
weil sie stets mit Geräusch verbunden.
Wilhelm Busch

Die klassische Physik zeichnet sich dadurch aus, daß sie das Verhalten von Systemen vorhersagen kann. Das setzt eine deterministische Dynamik voraus. Seitdem im Rahmen der nichtlinearen Physik auch deterministische Systeme diskutiert werden, die ein irreguläres, chaotisches Verhalten zeigen, trifft die kausale Verknüpfung von Determinismus und Vorhersagbarkeit nur noch  bedingt zu: Irreguläre Signale müssen nicht notwendig stochastisch sein, sondern können auch einem nichtlinearen deterministischen System entstammen. Weiterlesen

Wie fraktal ist der Mensch?

Schlichting, H. Joachim; Nordmeier, Volkhard; Beate Buttkus. In: Physik in der Schule 31/9, 310 (1993) (172).

Das Geäst eines Baumes, das Einzugsgebiet eines Flusses, die Gestalt eines Blitzes, die Bronchien oder das Adersystem eines Lebewesens zeigen eine große strukturelle Ähnlichkeit. Die naheliegende Frage, ob diese Ähnlichkeit rein zufällig ist oder auf tiefer liegenden morphologischen und funktionellen Gemeinsamkeiten beruht, wird erst in jüngster Zeit im Rahmen der fraktalen Geometrie der Natur [1] gestellt und hat zu Aktivitäten geführt, die in bisher nicht gekannter Weise die Grenzen verschiedener Disziplinen überschreiten. Nicht nur der Blickwinkel, unter dem auf diese Weise Dinge zusammengebracht werden, die bislang nichts oder nur wenig miteinander zu tun hatten, ist neu. Neu sind auch die Fragestellung und die Methoden, mit denen man diese Systeme angeht. Dabei zeigt sich, daß der „fraktale Blick“ in manchen Fällen überhaupt erst so etwas wie ein anschauliches Verständnis von Zusammenhängen ermöglicht, die ohne dies rein empirische Gegebenheiten blieben.
Insbesondere diese Aussage soll im folgenden am Beispiel des tierischen und menschlichen Organismus diskutiert werden. Dabei geht es um Probleme, die sich gewissermaßen aus der Inkommensurabilität unterschiedlicher euklidischer Dimensionen ergeben und die – so scheint es- im Rahmen der fraktalen Geometrie eine Lösung erfahren.

PDF: Wie fraktal ist der Mensch?

Fraktales Wachstum – am Beispiel der fingerartigen Durchdringung zweier Flüssigkeiten

Fraktales-WachstumSchlichting, H. Joachim. In: Physik in der Schule 31/3, 113 (1993).

Eines der wesentlichen Ziele der klassischen Physik ist die Formalisierung des natürlichen Geschehens, um darauf aufbauend exakte Vorhersagen treffen zu können. Bei der Formalisierung spielen geometrische Methoden, insbesondere euklidische Formen eine hervorragende Rolle. GALILEI sieht in der Geometrie die Sprache der Natur: „Die Philosophie ist in dem großen Buch der Natur niedergeschrieben, das immer offen vor unseren Augen liegt, dem Universum. Aber wir können es erst lesen, wenn wir die Sprache erlernt und uns die Zeichen vertraut gemacht haben, in denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, deren Buchstaben Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren sind; ohne diese Mittel ist es dem Menschen unmöglich, auch nur ein einziges Wort zu verstehen“.

PDF: Fraktales Wachstum – am Beispiel der fingerartigen Durchdringung zweier Flüssigkeiten

Schöne fraktale Welt – Annäherungen an ein neues Konzept der Naturwissenschaften

Schlichting, H. Joachim. In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 45/4, 202-214 (1992).

Das Konzept des Fraktals stellt eine große Herausforderung für fast alle Bereiche der Naturwissenschaften und darüber hinaus dar. Gleichzeitig hat es wie kaum eine zweite naturwissenschaftliche Idee Publizität innerhalb einer breiteren Öffentlichkeit erfahren. Die Schulphysik kann sich diesen Entwicklungen nicht verschließen. Bisher erschienene Aufsätze haben sich meist mit einzelnen Aspekten der Fraktale befaßt. Der vorliegende Beitrag möchte in einer Art Überblick den inneren Zusammenhang zwischen den zahlreichen Facetten des Fraktals darstellen, ohne jedoch Vollständigkeit anzustreben. Dabei wird gleichzeitig versucht, die hinter der Idee des Fraktals stehende Anschauung zu skizzieren, wie sie sich unter anderem auch in nicht naturwissenschaftlichen Kontexten spiegelt.

PDF: Schöne fraktale_welt – Annäherungen an ein neues Konzept

Arnolds Katze im Wunderland

Backhaus, Udo; Schlichting, H. Joachim: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 45/1,3 (1992).

Deterministische dynamische System können sich chaotisch verhalten. Aber das hindert sie nicht daran, nach hinreichend langer Zeit dem Ausgangspunkt wieder beliebig nahe zu kommen. Eine solche Poincarésche Wiederkehr wird an einer einfachen Abbildung veranschaulicht.

PDF: Arnolds Katze im Wunderland

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