Fraktal

Eisstrukturen zwischen Mangel und Überfluss

H. Joachim Schlichting. Spektrum der Wissenschaft 2 (2022)

Es waren Myriaden im Erstarren zu ebenmäßiger Vielfalt kristallisch
zusammengeschossener Wasserteilchen.
Thomas Mann (1875–1955)

In kalten Nächten wachsen oft weit verzweigte Eiskristalle heran. Wo und wie sie genau entstehen, hängt vor allem von den lokalen Gegebenheiten ab.

Zwar verlieren Pflanzen im Winter ihre Blütenpracht, doch dafür sprießen an ihnen filigrane, dendritische Eiskristalle und bieten einen schönen und physikalisch interessanten Ersatz. Damit solche Strukturen entstehen können, ist neben tiefen Temperaturen aber auch Wasser nötig.

In einer trockenen und wolkenfreien Nacht kann reichlich davon anfallen. Das ist uns bereits aus den wärmeren Jahreszeiten vertraut: Nicht selten sind am frühen Morgen Blätter und andere Gegenstände mit zahlreichen, bei Sonnenschein glitzernden Tautröpfchen benetzt. Durch Abstrahlung von Energie zum dunklen Himmel fällt die Temperatur der Objekte; Luft in deren Nähe kühlt ebenfalls ab. Damit sinkt die maximal mögliche Konzentration des darin enthaltenen Wasserdampfs (maximale Feuchte). Unterschreitet sie die aktuell vorhandene absolute Feuchte, kondensiert das überschüssige Wasser. Die Temperatur, bei der das passiert, heißt Taupunkt.

Kleinere und flachere Gebilde wie Grashalme und Blätter kühlen stärker ab. Denn einerseits ist die pro Zeiteinheit abgestrahlte Energie in etwa proportional zur Größe der Oberfläche, andererseits ist die gespeicherte innere Energie proportional zum Volumen. Wenn r für eine typische lineare Größe eines Gegenstands steht, etwa seinen Radius, dann schrumpft seine Oberfläche proportional mit r^2, sein Volumen aber mit r^3. Wird das Objekt beispielsweise um den Faktor 10 verkleinert, so verringert sich seine Oberfläche um das 100- und sein Volumen um das 1000-Fache. Also nimmt die zu Letzterem proportionale innere Energie stärker ab als die Oberfläche – und mit der inneren Energie ist wiederum die Temperatur verbunden.

Im Winter sind die Verhältnisse nicht grundlegend anders, nur liegt der Taupunkt gegebenenfalls unterhalb des Gefrierpunkts. Dann wird der überschüssige Wasserdampf gar nicht erst flüssig, sondern gefriert an den eiskalten kleinen Strukturen direkt zu Kristallen (Resublimation). Um vom gasförmigen in den festen Zustand überzugehen, benötigen die Wassermoleküle Unterstützung in Form von so genannten Keimen. Das sind meist winzige Partikel, an denen die Kristallisation leichter gelingt als beispielsweise im freien Raum. Der ideale Keim ist ein bereits existierender Eiskristall, und daher wachsen eher vorhandene Exemplare als neue entstehen.

Auf einem Blatt entwickeln sich die ersten Eisstrukturen bevorzugt an dünnen Härchen und anderen winzigen Auswüchsen (siehe »Sprießende Spitzen«). Sie sind nicht nur besonders kalt, sondern ragen oft außerdem ein Stück weit in die Umgebung hinein, die von Wasserdampfmolekülen wimmelt. Deren Verfügbarkeit ist zudem einer der Gründe dafür, dass die entstehenden Eisnadeln meist nicht in beliebige Richtungen wachsen, sondern von ihrer Basis weg ins Freie. Dabei spielt ein weiterer Aspekt eine wichtige Rolle: Bei der Resublimation fällt Energie aus Kondensationswärme und Kristallisationswärme an. Nur, wenn sie genügend schnell weggeschafft wird, kann Dampf tatsächlich erstarren.

Haben die Spitzen eine bestimmte Länge erreicht, können Seitenzweige schräg nach oben austreiben, weil ihre Flanken jetzt genügend weit von der Basis entfernt sind. So ergeben sich die dendritischen Strukturen gewissermaßen zwangsläufig.

In der Natur sind vielfältige Eiskristallmuster zu beobachten. Das spiegelt die zahlreichen Möglichkeiten wider, die sich durch die Geometrie der Objekte, die jeweils herrschenden Temperaturverhältnisse, den Nachschub an Wasserdampfmolekülen sowie die Entsorgung der Abwärme ergeben.

Die bislang erläuterten Strukturen entsprechen Verhältnissen mit eingeschränkter Versorgung mit Material und begrenztem Abführen der Kristallisationswärme. In Situationen, in denen reichlich Wasserdampf vorhanden ist und die Wärme optimal abtransportiert wird, gibt es eine ganze Klasse weiterer Eisstrukturen. Sie sind großflächig und dicht. Bei ihnen schlägt sich der Einfluss der hexagonalen Symmetrie der mikroskopischen Wassermoleküle auf die makroskopischen Muster besonders deutlich nieder.

In einem Fall (siehe »Hexagonale Blättchen«) war der Ausgangspunkt der Strukturbildung eine Schneedecke, die sich großflächig über niedriges Buschwerk gelegt hatte. Tagsüber heizte die intensiv strahlende Sonne den dunklen Raum darunter auf – eine feuchtigkeitsgesättigte Atmosphäre entstand. In der anschließenden sternklaren Nacht kühlte sich die obere Schneeschicht stark ab. Von unten stiegen verhältnismäßig warme Luft und Wasserdampf auf. Letzterer schlug sich im Bereich des Schnees nieder und erstarrte. Bei so einer Konstellation wird die Kristallisationswärme leicht in den kalten Nachthimmel abgestrahlt. So füllen sich beim Emporwachsen selbst die Zwischenräume problemlos. In nur einer Nacht können auf diese Weise lamellenartige Strukturen entstehen, die teilweise wie nach oben offene Gefäße aussehen und an manchen Stellen wie Kühlrippen gestaffelt sind. Letztere Ähnlichkeit ist mehr als rein äußerlich, schließlich kommt es gerade bei üppiger und effektiver Produktion von Kristallstrukturen weiterhin darauf an, die Wärme optimal abzugeben. So sind auch die typischen weihnachtsbaumartigen Muster (siehe »Baumartig gestaffelt«) weniger eine ästhetisch ansprechende Laune der Natur, als vielmehr eine physikalische Notwendigkeit.

Viskoses Verästeln in Physik und Kunst

Im Rahmen der nichtlinearen Physik stehen oft Experimente im Vordergrund, die im weitesten Sinne mit Strukturbildung zu tun haben. Diese Strukturen und ihre dynamischen Veränderungen sind oft von großem ästhetischem Reiz. Lange bevor im heutigen Sinne von nichtlinearer Physik die Rede war, haben Künstler wie etwa Max Ernst bestimmte Maltechniken benutzt, die heute im Rahmen der nichtlinearen Physik von Interesse sind.

Max Ernst nutzt beispielsweise die Bildung von fraktalen Formen durch die Décalcomanie genannte Technik, bei der er mit einem Pinsel Deckfarben auf einem Blatt Papier verteilt, ein zweites Blatt auf die frische Farbe legt und dann beide Blätter trennt, indem er sie vorsichtig auseinanderzieht. Die dadurch entstandenen Zufallsgebilde, die Assoziationen von Felsen, Wasser- und Korallenlandschaften wachrufen, werden von Ernst gezielt eingesetzt, um das schöpferische Potenzial des Unbewussten fruchtbar zu machen. Diese Art der Formfindung kann als konsequente Umsetzung der surrealistischen „écriture automatique“ in der Malerei angesehen werden. Allerdings half der Maler dem Zufall etwas nach, indem er die natürlicherweise entstandenen Strukturen der künstlerischen Absicht entsprechend in entscheidenden Details veränderte.

Derartige fraktale Gebilde kann man genießen, man kann sich aber auch dadurch motivieren lassen, ihr Zustandekommen verstehen zu wollen. Denn es sind einfache, aber nichtlineare Mechanismen, die dieser Strukturbildung zugrunde liegen.
Für eigene Experimente besonders geeignet sind Overheadfolien. Dazu bekleckst man die Folie z.B. mit Öl- oder Akrylfarbe. Man kann sie aber auch weiter künstlerisch gestalten. Anschließend legt man vorsichtig eine zweite Folie darüber und presst beide sorgfältig zusammen, sodass keine Luft mehr zwischen ihnen eingeschlassen ist. Anschließend zieht man die obere Folie wieder ab. Da die Natur sich gegen ein Vakuum sträubt, ist das nur möglich, wenn von den sich trennenden Rändern der Folien her Luft eindringt. Dabei muss sie die dickflüssige Farbe verdrängen. Wenn aber ein Fluid, hier die Luft, ein dickflüssigeres (viskoses) Fluid (hier die Farbe) verdrängt, dann geschieht dies nicht auf breiter Front, sondern erfolgt durch viskoses Verästeln. Die dadurch entstehende fraktale Struktur macht den Reiz des entstehenden Bildes aus, die auch Max Ernst und andere zu schätzen wussten.

Dendriten im Schneematsch

Wasserpfützen können schön sein, obwohl es nicht so klingt. Entsprechendes gilt für Schneematsch auf einer Eisfläche. Davon kann man sich anhand der beiden Fotos überzeugen, von denen das obere einen Ausschnitt des unteren darstellt. Sie zeigen Schnee auf einem zugefrorenen flachen Gewässer der teilweise mit schönen Verästelungen verziert wird. Die Fotos stammen von Wolfgang Knappmann der sie mit Hilfe einer Drohne gemacht hat. Dadurch wurde das Szenario aus einer Perspektive zugänglich, die man vom Ufer aus nicht hätte einnehmen können.
Beeindruckend sind die fraktalen Verästelungen, die situationsbedingt nicht wie auf einer früheren Aufnahme quasi symmetrisch in alle Richtungen wachsen, sondern eine Richtung bevorzugen.
Bevor es zur Entstehung der Dendriten kam, war der Teich bereits zugefroren. In dieser Situation fiel Schnee und belastete die Eisdecke, sodass durch undichte Stellen oder noch nicht zugefrorene Löcher im Eis Wasser hochgedrückt wurde. Anders als im früher diskutierten Fall, in dem die Eisdecke bei der Absenkung weitgehend horizontal ausgerichtet blieb, haben wir es hier mit einer Neigung der Schnee bedeckten Eisflächen zu tun. Offenbar hat sich der Bereich in der Mitte, der noch mit trockenem, weißen Schnee bedeckt ist, überhaupt nicht gesenkt. Von hier ausgehend haben sich die Eisflächen dann zu den Seiten hin geneigt. Das aus den Öffnungen herausgequollene Wasser hat sich daher diesem Gefälle entsprechend ausgebreitet. Dabei kann man zwei Prozesse unterscheiden.
In dem einen Fall erfolgte eine langsame Durchnässung, indem die Feuchtigkeit gewissermaßen von Kristall zu Kristall weitergegeben wurde und zu einer „Verwässerung“ der weißen Farbe des Schnees führte. Dass feuchte Objekte, zum Beispiel ein durchnässtes Kleidungsstück oder eine Straße nach dem Regen dunkler aussehen als im Falle der Trockenheit dürfte bekannt sein. Das erklärt die unterschiedlich starke Verdunklung des Untergrunds.
Im anderen Fall, der durch die Dendriten geprägt ist, strömte das Wasser stärker gegen den Schnee an und durchdrang ihn in einem nicht genau zu beurteilenden Verhältnis von Verschieben und Schmelzen. Dass dies nicht in der vielleicht erwarteten Form erfolgte, in der das Wasser den Schnee großflächig durchdringt ist typisch für fraktale Strukturbildungsprozesse. Demnach breitet sich eine dickflüssige (stärker viskoses) Flüssigkeit in einer dünnflüssigeren (weniger viskosem) Flüssigkeit auf einer ebenen Fläche radial-kreisförmig aus. Im umgekehrten Fall ist die Grenzflächenfront zwischen den Flüssigkeiten instabil und es kommt wie früher bereits beschrieben zu den astförmigen Durchbrüchen, die dann ihrerseits instabil sind und Seitentriebe entwickeln, die sich dann weiter verästeln usw. Wegen der leichten Abschüssigkeit der Eisflächen entwickeln sich im vorliegenden Fall die Dendriten einseitig in Richtung der Neigung.
Die zu den Rändern hin dunkleren Bereiche sind wie gesagt zum einen der zunehmenden Durchtränkung des Schnees mit Wasser geschuldet. Zum anderen ist das sich in den Dendriten ausbreitenden Wasser vermutlich verschmutzt, was auf ein flaches Gewässer schließen lässt. Jedenfalls macht sich eine deutliche Braunfärbung bemerkbar.

Eiskristalle wachsen sehen…

… klingt so ähnlich wie: Mäuse husten hören.
In diesen Tagen zeigt sich der Winter in all seinen Facetten. Jedenfalls jenen, die man dem Winter seiner Träume zuschreibt. Lässt man sich nicht zu sehr von dem Schnee blenden, kann man den Blick für das Kleine bewahren und schärfen, das sich oft im Verborgenen abspielt. In diesem Fall war ich auf ein Phänomen gefasst, als ich morgens durch die Balkontür blickend eine Temperatur von -6 °C im nicht geheizten Wintergarten ablas. Mir war klar, dass sobald ich die Tür von der mit Wasserdampf gesättigten Küche öffnete, die Scheiben im Wintergarten beschlagen würden. Sie taten es und vernebelten sofort den Blick auf den winterlichen Garten. Weiterlesen →

Eisblätter

Ein Stillleben aus zwei verschiedenen ins Eis geprägten Blättern, einem pflanzlichen und einem kristallinen. Während das pflanzliche Blatt als Wärmeabsorber sich bei Sonnenschein etwas in die Eisschicht eingeschmolzen hat und dann festgefroren ist, verdankt sich die dendritische Blattstruktur einem komplexeren Geschehen. Das Wasser des hier gefrorenen Teichs enthält gelöste pflanzliche Substanzen, die durch verrottende Biomaterie ins Wasser gelangt ist. Einige Bestandteile sammeln sich an der Oberfläche und werden beim Gefrieren als grau und manchmal farbig erscheinende Schicht bemerkbar. Wenn beim finalen Zufrieren der Eisdecke durch eine Schwachstelle reines Wasser auf die Oberfläche gelangt und sich ausbreitet wird die ölhaltige Substanz wegen ihrer größeren Viskosität dendritisch verdrängt, was sich in dem dunklen Muster widerspiegelt.

Fraktale Verästelungen auf Walnüssen

Unser Walnussbaum hat in diesem Jahr sehr viele Nüsse produziert, die zur Zeit am warmen Kamin geknackt und verzehrt werden. Da wir es mit der Säuberung der Nüsse nicht so gründlich vorgegangen sind, wie man es bei gekauften wohl erwartet, bieten sich oft Anblicke wie auf diesem Foto. Sie zeigen vermutlich Reste der Versorgungsgefäße, durch die die spätere „erwachsene“ Nuss innerhalb einer später abfallenden weichen Hülle aufgepäppelt wurde. Es scheint so etwas wie eine Miniplazenta zu sein. Jedenfalls stelle ich mir das so vor. (Biologen*innen mögen mich da ggf. korrigieren.).
Von der Struktur her haben wir hier wieder das von Adersystemen, Einzugsbereichen von Gewässern u.ä. bekannte Bild fraktaler Verästelungen (vgl. z.B. hier und hier und hier und hier und hier und hier und hier).

Rätselfoto des Monats April 2020

CD-Rohling ins Gegenlicht gehalten. Wie kommen die Farbstreifen in den Schatten?

Erklärung des Rätselfotos des Monats März 2020

 Frage: Wie kommt es zu den etwa metergroßen Dendriten auf dem zugefrorenen See?

Antwort: Bei dem auf den ersten Blick rätselhaft erscheinenden Foto handelt es sich um eine Aufnahme aus einer Höhe von 50 bis 90 m, aufgenommen von Wolfgang Knappmann mit Hilfe einer Drohne. Die Größenordnung der Strukturen dürfte grob geschätzt im Meterbereich liegen. Wohl jeder, der sich ein wenig auf das Foto einlässt, wird erkennen, dass es sich um eine Eisschicht handelt, in diesem Fall die eines zugefrorenen Sees. Gespickt ist die Aufnahme mit einigen dendritischen Strukturen, die weniger bekannt sein dürften und daher rätselhaft erscheinen.
Diese Dendriten sind sogenannte Fraktale, die in der Regel dadurch entstehen, dass sich ein dünnflüssiges Fluid (geringe Viskosität) in einem dickflüssigen (größere Viskosität) ausbreitet. Wie an anderer Stelle ausgeführt, kann man solche fraktalen Strukturen selbst herstellen, wenn man beispielsweise (gefärbtes) Wasser zwischen zwei Plexiglasscheiben presst.

Im vorliegenden Fall stelle ich mir folgendes Szenario der Entstehung vor:
Nachdem der See zugefroren und mit einer noch dünnen Eisschicht bedeckt wurde, schneit es und der auflastende Schnee drückt das Eis in das Wasser.

• An dünneren Stellen im Eis entstehen Löcher, aus denen das Wasser herausquillt und sich nach allen Seiten auszubreiten versucht.
• Da das Wasser wärmer ist als der Schnee gibt es Wärme an diesen ab und „schmilzt sich“ in die Schneefront hinein. Dadurch kommt es zur Abkühlung und Verlangsamung des Vorgangs. Für ein kreisförmiges und damit großflächiges Fortschreiten der Schmelzfront reicht das nachströmende Wasser jedenfalls nicht aus.
• Stattdessen bricht das Wasser an einigen Stellen, an denen zufällig bereits eine winzige Einbuchtung besteht ein und bahnt schmale vom Ursprung radial nach außen gerichtete Kanäle in die Schneeschicht. Auf diese Weise dringt das nachströmende wärmere Wasser in dem bereits gebahnten Kanal bis an die vordere Front vor und „schmilzt“ sich langsam weiter voran.

Je länger die Kanäle werden, desto mehr Wärme geht im Kontakt mit dem Schnee an den Uferwänden verloren und der Vortrieb des Kanals wird langsamer. Durch den „Druck“ des nachströmenden Wassers an die Uferwände kommt es schließlich zu Durchbrüchen, die zu Seitenkanälen führen, die sich gegebenenfalls weiter verzweigen usw.

Dieser Versuch einer Erklärung stützt sich allein auf das Foto und die typischen Mechanismen, die zu dendritischen Fraktalen führen und könnte daher mit einigen Unsicherheiten in den Schlussfolgerungen verbunden sein.

Erklärung der Rätselfotos des Monats Februar 2010

Rätselfoto des Monats März 2020

Wie kommt es zu den etwa metergroßen Dendriten auf dem zugefrorenen See?

Erklärung des Rätselfotos des Monats Februar 2020

Frage: Warum ist einer der Kondensstreifen rot?
Antwort: Die Aufnahme wurde kurz nach Sonnenuntergang gemacht. Obwohl auf der Erdoberfläche die Farben bereits am Verschwinden waren und dem typischen monochromen Grau Platz machten, erreichte das durch den langen Weg durch die dichte Atmosphäre rot gewordene Licht der bereits hinter dem Horizont verschwundenen Sonne noch die Kondensstreifen des in großer Höhe fliegenden Flugzeugs. Genau gesagt: Das Flugzeug und die Kondensstreifen lagen auf einer Ebene mit dem einfallenden Licht. Der rechte Kondensstreifen wurde auf diese Weise vom beleuchteten linken Kondensstreifen größtenteils verdeckt. Er wurde daher nur durch das nicht mehr ganz so helle Himmelslicht beleuchtet, was zu dem dunklen Grau führte.

Fraktale Rinnsale am Sandstrand

Diesen Stein hatte ich am Sandstrand vor Eintreten der nächtlichen Flut ein Stück in den Sand eines leicht abschüssigen Überflutungsgebietes am Strand gedrückt, sodass er nicht gleich vom Ansturm der Flut weggeschoben würde. Am nächsten Morgen sah es dann so wie auf dem Foto aus. Der Stein ist nicht nur tiefer in den Sand eingesunken, sondern sammelt in der Vertiefung, in der er sich befindet, das im Sand gespeicherte Wasser der Umgebung, das dann an der tiefsten Stelle (im oberen Bildteil) zum Meer hin überläuft.  Weiterlesen →

Die Pracht der kleinsten Dinge

Die meisten Menschen wissen gar nicht,
wie schön die Welt ist und wie viel Pracht
in den kleinsten Dingen,
einer blume,
einem Stein,
einer Baumrinde
oder einem Birkenblatt sich offenbart.

Rainer Maria Rilke Weiterlesen →

Die fraktale Welt einer Trompete

Neben den akustischen Klängen, die durch den Schalltrichter einer Trompete in die Welt entlassen werden und in unser Ohr gelangen, hat derselbe Trichter auch einige optische Ansichten parat, die für den einen oder die andere ein visuelles Erlebnis darstellen. Mich haben die meist spiegelblanken glänzenden Metallkörper schon immer fasziniert, hatte aber bislang keine Gelegenheit wahrgenommen, ihnen etwas mehr Aufmerksamk Weiterlesen →

Eisfraktal

Wir blicken auf einen zugefrorenen Teich mit einer dendritischen Struktur. Sie erinnert an ähnliche fraktale Gebilde in ganz anderen Zusammenhängen. In den meisten Fällen kommt sie dadurch zustande, dass ein Fluid mit einer geringeren Viskosität ein Fluid mit einer höheren Viskosiät durchdringt. Weiterlesen →

Steine: Ein mineralischer Weihnachtsbaum

Obwohl die Bäumchen, die hier vor circa 160 Millionen Jahren im Solnhofener Plattenkalk gewachsen sind, wie Versteinerungen von Pflanzen aussehen (vgl. Weihnachtsbaum des Vorjahres), handelt es sich um Eisen- und Manganabscheidungen auf Kluftflächen des Kalks. Die baumartige Struktur erinnert mich in diesen Tagen an den Weihnachtsbaum. Diese „Weihnachtsbäumchen“ haben zwar keinen biologischen Ursprung, sondern verdanken sich rein chemisch-mineralogischen Vorgängen. Dafür sind sie aber steinalt und nadeln nicht. Weiterlesen →

Rätselfoto des Monats Oktober 2017

Sonne oder Mond?

Erklärung zum Rätselfoto des Monats September 2017
Frage: Was wächst denn hier; und wie?

Längs einer Linie wachsen Bäumchen – fast möchte man sagen sich gegenseitig reflektierend – längs einer Linie. Auf den ersten Blick würde man vielleicht auf eine Versteinerung tippen. Obwohl die Richtung richtig ist, was das Alter betrifft, so ist die Entstehungsursache völlig verschieden. Hier blickt man auf keine versteinerten Pflanzen, obwohl es sich ebenfalls um dendritische (dendrites: zum Baum gehörend) Objekte handelt. Diese Dendriten sind vor circa 160 Millionen Jahren im Solnhofener Plattenkalk gewachsen. Es handelt es sich um Eisen- und Manganabscheidungenen auf Kluftflächen des Kalks. Entstanden sind sie dadurch, dass mineralreiches Wasser mit hohen Konzentrationen von Eisen und Mangan von Ritzen im Gestein ausgehend in mikroskopisch kleine Hohlräume zwischen den Kalksteinlagen gedrungen sind und durch sogenanntes diffusionsbegrenztes Wachstum (DLA) solche fraktalen Muster hervorgebracht haben.
Der Vorgang lässt sich übrigens in einfachen Freihandexperimenten nachvollziehen ohne Äonen auf das Ergebnis warten zu müssen.

Pfeffer und gezackte Linien (Lichtenberg 3)

Der erste deutsche Experimentalphysiker Georg Christoph Lichtenberg (1742 – 1799) hat sich nach eigenem Bekunden in seiner experimentellen Forschung mit seltsamen Geschöpfen auf der Grenze zwischen Luft und Festkörper befasst. Als jemand der „Pfeffer und gezackte Linien“ (F 995) liebt, stößt er wohl als erster Physiker im Rahmen seiner Experimente zur Elektrostatik auf nichtlineare fraktale Muster, die fortan seinen Namen tragen sollten. Weiterlesen →

Rätselfoto des Monats September 2017

Was wächst hier?

Erklärung zum Rätselfoto des Monats August 2017
Frage: Wie könnte dieses Muster in einer Dünenlandschaft entstanden sein?

Antwort: Was hier fast wie eine Pareidolie eines menschlichen Oberkörpers daherkommt, ist ein Foto eines Ausschnitts aus einer Dünenlandschaft am Strand. Entstanden ist die Struktur folgendermaßen. Nach einem kräftigen Regenguss, durch den die oberen Sandschichten durchnässt wurden, sind Menschen darüber gegangen und haben den Boden an bestimmten Stellen unter ihren Tritten verfestigt. Anschließend sind die oberen Sandschichten wieder getrocknet. Der nachts aufkommende Wind hat den Sand wie gewohnt vor sich hergetrieben und neue Dünenlandschaften gestaltet.
Allerdings konnten nur die trockenen und relativ lockeren Sandkörner weggetragen werden. Folglich sind insbesondere die durch die Tritte der Menschen verfestigten Sandpartien erhalten geblieben. Die verdichtende Wirkung eines Fußabdrucks sieht man in der Mitte des Fotos: Links der Abdruck des Vorfußes und rechts der Ferse. Die Schichtung aus dunklem und hellem Sand zeigt an, dass hier durch Verdichtung höhere Schichten stehen geblieben sind als in der Umgebung. Überhaupt ist die Morphologie ein Abbild der Festigkeit des Untergrunds zur Zeit, als der Wind darüber fegte.
Die unterschiedliche Färbung des Sandes zeigt ähnlich wie die Jahresringe eines Baumes die Vorgeschichte der Sandschichtung an. Offenbar wechseln sich Schichten weißen und dunklen Sandes ab.
Wie es zu dieser Schichtung kommt ist eine weitere interessante Frage. Der Sand besteht aus Partikeln unterschiedlicher Größe, Form, Dichte, Farbe etc. von denen rein visuell vor allem die dunklen und hellen Partikel ins Auge fallen. Normalerweise treten die verschiedenen Sandarten gemischt auf und verleihen dem Sand seine charakteristische grau-gelbliche Färbung. Unter dem Einfluss mechanischer Kräfte, also im Sandsturm und bei Lawinenabgängen an den leeseitigen Dünenabhängen kommt es mindestens zu partiellen Entmischungen, die dann besonders gut zu sehen sind, wenn unterschiedliche Farben der unterschiedlichen Sandarten im Spiel sind. Diese Streifenbildung nennt man in der Physik der granularen Materie auch Stratifikation.
Die Ursachen für die Streifenbildung können verschieden sein und hängen von den jeweiligen physikalischen Unterschieden (Größe, Dichte, Form) der Teilchen ab. Einen Eindruck davon kann man sich verschaffen, wenn man eine Mischung zweier Granulate, z.B. Mohnkörner und Zucker an einer Seite in ein flaches durchsichtiges Gefäß, z.B. eine transparente CD-Hülle, fließen lässt. Es ergeben sich deutliche Streifen, wie das untere Foto zeigt.

Die Wahrheit liegt meist am Rande

Selbst wenn man nur den geometrischen Aspekt einer Landesgrenze betrachtet, so findet man in ihrer Gestalt die durch geologische, politische und andere Vorgänge bestimmte meist wechselvolle Geschichte einbeschrieben. Die „unendliche Geschichte“ einer Landesgrenze steht daher vielleicht nicht zufällig am Beginn einer Forschungsrichtung, die sich im weiteren und engeren Sinne mit Grenzfragen befaßt. Weiterlesen →

Stets aufs neu geteilte Gänge

Das zierlich eingekerbt-, und nett-gezackte Laub,
Wodurch die Adern sich bis an die Ecken,
Voll klares Safts, wie Blut, erstrecken,
Ist recht verwunderlich geweb´t. Solch eine Menge
Stets wiederum aufs neu geteilter zarter Gänge
Durchflicht das ganz Blat, wodurch es sich vereint,
Und, wie ein grünes Fleisch, voll grüner Adern scheint.
Ein Blat beschattet oft das ander´, und vermehret,
Durch seine dunk´le Zierlichkeit
Der Schatten, Bildungen und Farben Unterscheid.

Brockes, Barthold, Hinrich (1680 – 1747) Weiterlesen →

Paradiesgarten fraktaler Kristallmalerei

Nachdem der Winter nun doch noch Einzug gehalten hat, zeigt er sich auch gleich von seiner schönen Seite. Die einfach verglasten Fenster nichtgeheizter Räume borden nur so über von Eisblumen, die insbesondere in den Farben des Sonnenaufgangs von besonderem Reiz sind. Mit ihren organischen Formen stehen sie den entlaubten Bäumen, die ebenfalls auf dem Foto zu sehen sind in nichts nach. Vielmehr passen sie gut zusammen. Weiterlesen →

Konvergierende Grenzlinien

„Auf der Grenze liegen immer die seltsamsten Geschöpfe“, sagt Georg Christoph Lichtenberg (1732 – 1799). Dieser Satz fällt mir beim Blick auf die fluchtenden Grenzlinien ein, als ich von einer Sanddüne aus die Menschen am Saum des Meeres entlanggehen sehe und offenbar mehr oder weniger bewusst das Auf-der-Grenze-Spazieren“ genießen. Was von hier oben als gerade Linie aussieht ist, aus der unmittelbaren Nähe betrachtet ein rhythmisches Spiel der auf den Sandstrand auslaufenden Meereswellen, die von den Menschen je nach „Temperament“ entweder gerade gemieden werden oder deren Wechselbad man gerade genießen möchte. Weiterlesen →

In stetem Fluss

Schlichting, H. Joachim. In: Spektrum der Wissenschaft 6 (2014), S. 44 – 46

Von Flüssigkeiten durchströmte Netzwerke bilden komplexe Strukturen aus, folgen dabei aber einem einfachen ordnenden Prinzip: der Minimierung der Energie-»Verluste« pro Zeiteinheit.

Die Natur wählt den
kürzesten möglichen Weg.
Aristoteles (384 – 322 v. Chr.)

PDF: In stetem Fluss

Wer mit dem Flussnetzwerk selbst ein wenig „spielen“ möchte, sei auf eine Simulation im Internet verwiesen, die Dr. Stefan Loheider auf Anregung durch diesen Beitrags programmiert hat.

Der Blumen im Winter sah

Schlichting, H. Joachim. In: Spektrum der Wissenschaft 2 (2010), S. 39

Beim Wachsen von Eisblumen am Fenster wirken Zufall und Notwendigkeit zusammen.

Doch an den Fensterscheiben, Wer malte die Blätter da?
Ihr lacht wohl über den Träumer, Der Blumen im Winter sah?
Wilhelm Müller (1794 – 1827)

Heute muss man sie wohl als bedrohte Art ansehen, denn ihre größten Feinde – Zentralheizungen und wärmedämmende Doppelscheiben – haben sich weithin etabliert. In früheren Wintern jedoch gehörten Eisblumen am Fenster zu einer alltäglichen Erscheinung: »Es war ein ziemlich kalter Tag und draußen lag fußhoher Schnee. Drinnen aber war es behaglich … die Wanduhr ging in starkem Schlag und der Kachelofen tat das Seine … während Line weitab an dem ganz mit Eisblumen überdeckten Fenster saß und sich ein Guckloch gepustet hatte, durch das sie nun bequem sehen konnte, was auf der Straße vorging.« (Theodor Fontane, Unterm Birnbaum, 1885).
Zuvor war, davon dürfen wir ausgehen, die Temperatur der Glasscheibe allmählich immer tiefer gesunken. Zunächst unter den Taupunkt. Ab diesem Zeitpunkt ist mehr Wasserdampf in der Luft, als diese fassen kann, so dass er sich verflüssigt und kondensiert, sich also in Form winziger Tröpfchen an die Scheibe anlagert. Sobald deren Temperatur nun auch den Gefrierpunkt des Wassers unterschreitet – um mindestens ein bis zwei Grad –, kristallisieren sie schließlich zu Eis. Manchmal kommt es auch gar nicht erst zum Zwischenschritt des Verflüssigens. Denn unter bestimmten Bedingungen geht Wasserdampf auf direktem Weg in Eis über, er resublimiert.
Der Ursprung der Eisblumen liegt in winzigen Kristallen mit einer für Wassermoleküle charakteristischen sechseckigen Struktur. Sie entstehen an Kondensationskeimen, etwa Schmutzpartikeln, an denen sich Tröpfchen beziehungsweise Kristalle spontan bilden können. Ihre Form beeinflusst das Kristallwachstum zunächst in zufälliger Weise, bald aber kommt die Notwendigkeit hinzu. Denn wo die Kristallisation stattfindet, wird auch Wärme abgegeben, und zwar ganz schön viel.
Es ist dieselbe Menge, die man Eis zum Auftauen zuführen muss – und jeder weiß, wie lange sich Eisstücke im Erfrischungsgetränk halten. Das Kristallwachstum käme sogar zum Stillstand, würde die frei werdende Wärme nicht schnell genug abtransportiert. Das heißt aber auch: Der Kristall wächst bevorzugt dorthin, wo die Wärme am besten abgegeben werden kann, nämlich weg von seinem Ursprung. Es bilden sich darum exponierte Spitzen, an deren mitwachsenden Flanken die Wahrscheinlichkeit für weitere Anlagerungen ebenfalls steigt. Diese Nebenäste wachsen ihrerseits weder entlang der Hauptspitze noch im rechten Winkel dazu, sondern suchen stattdessen einen »schrägen« Kompromiss. Nur so können auch sie die entstehende Wärme optimal abgeben.
Allmählich entsteht ein farnartiges Gebilde, das ganz zum Schluss, wenn auch die Zwischenräume gefrieren, eine blattartige Form gewinnt. Aus dem Zusammenwirken von Zufall und Notwendigkeit sind Strukturen entstanden, wie wir sie auch bei (biologischen) Blättern und Blumen beobachten können: Sie ähneln einander zwar, sind aber nie identisch. Erfahrungsgemäß bilden sich die schönsten Formen bei einer Scheibentemperatur von etwa minus zwei Grad Celsius. Wirkliche Vielfalt entfaltet sich zudem nur, wenn das Fenster leicht verschmutzt ist und genügend Kondensationskeime vorhanden sind. Sauberkeit ist für Schönheit also keine Voraussetzung.

Kann die Auseinandersetzung mit (moderner) Kunst beim Lehren von Physik helfen?

Schlichting, H. Joachim. In: Dietmar Hötteke (Hg.): Naturwissenschaftlicher Unterricht im internationalen Vergleich. Berlin: Lit 2007, S. 409 – 411.

Wenn man Physik und Kunst zusammen denkt, überwiegen normalerweise die Unterschiede. Physik gestattet keinen Raum für Gefühle. Deren Ort sind die Kunst, die Literatur und die Musik. Auf den zweiten Blick wird jedoch klar, dass Physik ohne Gefühle nur die halbe Wahrheit ist…

PDF: Kann die Auseinandersetzung mit (moderner) Kunst beim Lehren von Physik helfen?

Thermodynamik und Strukturbildung am Beispiel der Entstehung eines Flussnetzwerkes

Schlichting, H. Joachim; Nordmeier, V. In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, 53/8, 450-454 (2000).

Mit allgemeinen thermodynamischen Argumenten wird versucht, eine Antwort auf die Frage zu geben, warum Flussnetzwerke (wie sie z. B. bei der natürlichen Entwässerung von Flächen entstehen) jene typischen verästelten, fraktalen Muster ausbilden. Ausschlaggebend für derartige Strukturbildungsprozesse ist, dass die Energiedissipationsrate des fließenden Wassers minimal wird. Diese Aussage wird in einem einfachen Algorithmus zur Simulation von Flussnetzwerken umgesetzt.

PDF: Thermodynamik und Strukturbildung am Beispiel der Entstehung eines Flussnetzwerkes

Der flatterhafte Falter der Chaosphysik – Anmerkungen zum Schmetterlingseffekt

Schlichting, H. Joachim. In: Physik in der Schule 36/9, 304 (1998).

Der Weg der neuzeitlichen Physik ist mit Effekten gepflastert: der Doppler-, der Compton-, der Barkhausen- , der Mößbauer-, der Faraday- Effekt und neuerdings der Schmetterlingseffekt. Dieser unterscheidet sich von jenen nicht nur dadurch, daß er keinem großen Physiker, sondern einem kleinen empfindlichen Tier zugeordnet wird. Außerdem entzieht er sich der physikalischen Bestimmung und steht für das, was wir trotz der Kleinheit nicht zu beherrschen vermögen. Damit ist er nicht nur auf die Naturwissenschaften beschränkt. Man kann sogar umgekehrt feststellen, daß der Schmetterlingseffekt in der einen oder anderen Variante lange bevor er im Rahmen der Nichtlinearen Physik wissenschaftlich salonfähig wurde, in den verschiedensten Bereichen, der Philosophie, der Literatur usw. diskutiert wurde.

PDF: Der flatterhafte Falter der Chaosphysik – Anmerkungen zum Schmetterlingseffekt

Fraktale Strukturbildung in (fast) Freihandexperimenten

Nordmeier, Volkhard, Schlichting, H. Joachim. In: Deutsche Physikalische Gesellschaft (Hrsg.): Didaktik der Physik. Vorträge der Frühjahrstagung der DPG Duisburg 1995, S. 434 -339 (ISSN 1430- 564X)

Eine große Klasse von Fraktalen entsteht bei Wachstumsprozessen fernab eines Gleichgewichtszustandes. Weiterlesen →

Auf der Grenze liegen immer die seltsamsten Geschöpfe – Nichtlineare Systeme aus der Perspektive ihrer fraktalen Grenzen.

Schlichting, H. Joachim. In: Der Mathematische und Naturwissenschaftliche Unterricht 47/8, 451 (1994).

Dissipative Systeme halten mit Hilfe ihrer Grenzen eine spezifische Differenz zur Umgebung aufrecht.. Das gelingt ihnen durch Dissipation von Energie aufgrund eines Energie- und Stoffaustausches durch die Grenzen hindurch. Für zahlreiche Syste-me kommt es darauf an, dass die Grenze mit der Umgebung (bzw. einem anderen System) möglichst groß ist, so dass im Idealfall jeder Punkt des Systems an der Grenze liegt. Dadurch ergeben sich fraktale Strukturen, bei denen sich die Morphologie der Grenzen und die Stoffwechselvorgänge in ge-wisser Weise gegenseitig bestimmen…

PDF: Auf der Grenze

Musikalisches Rauschen

Piotrowski, Arndt; Nordmeier, Volkhard; Schlichting, H. Joachim. In: Deutsche Physikalische Gesellschaft (Hrsg.): Didaktik der Physik. Bad Honnef: DPG GmbH 1994

Musik wird oft nicht schön empfunden,
weil sie stets mit Geräusch verbunden.
Wilhelm Busch

Die klassische Physik zeichnet sich dadurch aus, daß sie das Verhalten von Systemen vorhersagen kann. Das setzt eine deterministische Dynamik voraus. Seitdem im Rahmen der nichtlinearen Physik auch deterministische Systeme diskutiert werden, die ein irreguläres, chaotisches Verhalten zeigen, trifft die kausale Verknüpfung von Determinismus und Vorhersagbarkeit nur noch  bedingt zu: Irreguläre Signale müssen nicht notwendig stochastisch sein, sondern können auch einem nichtlinearen deterministischen System entstammen. Weiterlesen →

Wie fraktal ist der Mensch?

Schlichting, H. Joachim; Nordmeier, Volkhard; Beate Buttkus. In: Physik in der Schule 31/9, 310 (1993) (172).

Das Geäst eines Baumes, das Einzugsgebiet eines Flusses, die Gestalt eines Blitzes, die Bronchien oder das Adersystem eines Lebewesens zeigen eine große strukturelle Ähnlichkeit. Die naheliegende Frage, ob diese Ähnlichkeit rein zufällig ist oder auf tiefer liegenden morphologischen und funktionellen Gemeinsamkeiten beruht, wird erst in jüngster Zeit im Rahmen der fraktalen Geometrie der Natur [1] gestellt und hat zu Aktivitäten geführt, die in bisher nicht gekannter Weise die Grenzen verschiedener Disziplinen überschreiten. Nicht nur der Blickwinkel, unter dem auf diese Weise Dinge zusammengebracht werden, die bislang nichts oder nur wenig miteinander zu tun hatten, ist neu. Neu sind auch die Fragestellung und die Methoden, mit denen man diese Systeme angeht. Dabei zeigt sich, daß der „fraktale Blick“ in manchen Fällen überhaupt erst so etwas wie ein anschauliches Verständnis von Zusammenhängen ermöglicht, die ohne dies rein empirische Gegebenheiten blieben.
Insbesondere diese Aussage soll im folgenden am Beispiel des tierischen und menschlichen Organismus diskutiert werden. Dabei geht es um Probleme, die sich gewissermaßen aus der Inkommensurabilität unterschiedlicher euklidischer Dimensionen ergeben und die – so scheint es- im Rahmen der fraktalen Geometrie eine Lösung erfahren.

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Fraktales Wachstum – am Beispiel der fingerartigen Durchdringung zweier Flüssigkeiten

Schlichting, H. Joachim. In: Physik in der Schule 31/3, 113 (1993).

Eines der wesentlichen Ziele der klassischen Physik ist die Formalisierung des natürlichen Geschehens, um darauf aufbauend exakte Vorhersagen treffen zu können. Bei der Formalisierung spielen geometrische Methoden, insbesondere euklidische Formen eine hervorragende Rolle. GALILEI sieht in der Geometrie die Sprache der Natur: „Die Philosophie ist in dem großen Buch der Natur niedergeschrieben, das immer offen vor unseren Augen liegt, dem Universum. Aber wir können es erst lesen, wenn wir die Sprache erlernt und uns die Zeichen vertraut gemacht haben, in denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, deren Buchstaben Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren sind; ohne diese Mittel ist es dem Menschen unmöglich, auch nur ein einziges Wort zu verstehen“.

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Schöne fraktale Welt – Annäherungen an ein neues Konzept der Naturwissenschaften

Schlichting, H. Joachim. In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 45/4, 202-214 (1992).

Das Konzept des Fraktals stellt eine große Herausforderung für fast alle Bereiche der Naturwissenschaften und darüber hinaus dar. Gleichzeitig hat es wie kaum eine zweite naturwissenschaftliche Idee Publizität innerhalb einer breiteren Öffentlichkeit erfahren. Die Schulphysik kann sich diesen Entwicklungen nicht verschließen. Bisher erschienene Aufsätze haben sich meist mit einzelnen Aspekten der Fraktale befaßt. Der vorliegende Beitrag möchte in einer Art Überblick den inneren Zusammenhang zwischen den zahlreichen Facetten des Fraktals darstellen, ohne jedoch Vollständigkeit anzustreben. Dabei wird gleichzeitig versucht, die hinter der Idee des Fraktals stehende Anschauung zu skizzieren, wie sie sich unter anderem auch in nicht naturwissenschaftlichen Kontexten spiegelt.

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Arnolds Katze im Wunderland

Backhaus, Udo; Schlichting, H. Joachim: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 45/1,3 (1992).

Deterministische dynamische System können sich chaotisch verhalten. Aber das hindert sie nicht daran, nach hinreichend langer Zeit dem Ausgangspunkt wieder beliebig nahe zu kommen. Eine solche Poincarésche Wiederkehr wird an einer einfachen Abbildung veranschaulicht.

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