Zahlen

Vierzig + Eins ist Einundvierzig

Lieber Jan, heute feierst du deinen 41. Geburtstag, zu dem ich dir ganz herzlich gratuliere. Mit der 1, die du nunmehr zur 40 addieren musst, nimmt das neue Jahrzehnt Fahrt auf (ich weiß wovon ich rede!). Und damit geht auch die Duplo-Zeit zu Ende (siehe Foto).
Die neue Zeit hat bereits spektakulär begonnen und gibt der 41 eine besondere Note, die auch mathematisch einiges hergibt. Zum einen ist 41 eine Primzahl. Prim kommt von Primus, der Erste und das trifft nun ja wohl in besonderer Weise zu. Jedenfalls nehmen wir es mal so. Des Weiteren liefert das Polynom n² + n + 41 für alle n von 0 bis 39 weitere Primzahlen – ohne Ausnahme. Kannst ja mal nachrechnen.
Wie dem auch sei, du siehst auch die auf den ersten Blick nichtsagende 41 hat es in sich. Das zeigt sich bereits darin, dass ihre Quersumme 5 ist. Und haben wir nicht 5 Finger an jeder Hand? Du wirst es merken, dass dich die 41 im positiven Sinne begleiten wird – zumindest für ein Jahr.

Aufbruch in die zweite Dekade

Jetzt bist du 10 Jahre alt, lieber Lano, dazu möchte ich dir ganz herzlich gratulieren. Aber du kannst mir auch gratulieren dazu dass ich dir jetzt zum 10. Mal einen zahlenverliebten Glückwunsch auf diesem Blog schicke. Ganz früher hat ihn deine Mama gelesen und sich für dich darüber gefreut. Dann später hat sie dir erklärt, was dort geschrieben stand, und in den letzten Jahren kannst du das selbst lesen. Wenn du etwas nicht verstehst – bitte fragen.
Irgendjemand (wer wohl?) behauptete mal, die Zehen heißen so, weil es Zehn sind. Ich sagte damals, dass es wohl umgekehrt sei, weil die Zehen vor der Zehn da waren. Aber die zehn Zehen und zehn Finger haben tatsächlich etwas mit der Zahl Zehn zu tun. Die indogermanische Bedeutung (ahd. zehan) bedeutet vermutlich „zwei Hände“ und die haben nun mal 10 Finger. Du erinnerst dich bestimmt daran, dass du die Finger zum Zählen und Rechnen benutzt hast und wie schwierig es wurde, als die Zahlen größer als 10 wurden. Aber zum Glück hat man es so eingerichtet, dass die Zahlen (im Zehnersystem) immer noch in Blöcken von jeweils 10 Teilen aufgeteilt sind.

Mathematisch ist die 10 sehr interessant. Sie ist eine Dreieckszahl. Das bedeutet das die Summe der Zahlen von 1 bis 4, also: 1+2+3+4 = 10 ist. Das wird als Zeichen für Vollkommenheit angesehen. Außerdem ist 10 eine Tetraederzahl. Das heißt, du kannst mit 10 Kugeln ein Tetraeder bauen: Zunächst ein Dreieck mit 6 Kugel, dann 3 Kugeln in die Vertiefungen zwischen den Kugeln und zum Schluss eine Kugel in die dadurch entstandene Vertiefung obendrauf (siehe unteres Foto). Du kannst das mit Murmeln nachmachen. Vielleicht findest du damit auch noch heraus, welches die nächst kleinere und die nächst größere Tetraederzahl ist.

Die zehn Gebote nach Mose gelten im Judentum und in den christlichen Kirchen als der Schlüssel zu einer gelungenen Lebensgestaltung.
Die zehn biblischen Plagen waren laut Überlieferung eine Reihe von Katastrophen in Ägypten im 13. Jahrhundert vor Christus.
Der Zehnt war bis ins 19. Jahrhundert hinein der zehnte Teil des Ertrags eines Grundstücks, den man als Steuer zu entrichten hatte.
Zehn Himmelsstämme kennt die chinesische Astrologie.
Die zehn Betrachtungen sind buddhistische Meditationsthemen.
Und vieles andere mehr, in dem die 10 von Bedeutung ist.

Mathematisches Entzücken

Drei Orangen, zwei Zitronen: −
Bald nicht mehr verborgne Gleichung,
Formeln, die die Luft bewohnen,
Algebra der reifen Früchte!

Licht umschwirrt im wespengelben
Mittag lautlos alle Wesen.
Trockne Blumen ruhn im selben
Augenblick auf trocknem Wind.

Drei Orangen, zwei Zitronen.
Und die Stille kommt mit Flügeln.
Grün schwebt sie durch Ulmenkronen,
Selges Schiff, matrosenheiter.

Und der Himmel ist ein blaues
Auge, das sich nicht mehr schließt
Über Herzen: ein genaues
Wunder, schwankend unter Blättern.

Drei Orangen, zwei Zitronen: −
Mathematisches Entzücken,
Mittagsschrift aus leichten Zonen!
Zunge schweigt bei Zunge. doch
Alter Sinn gurrt wie ein Tauber.

Obwohl in diesem Gedicht von Karl Krolow (1915 – 1999) vordergründig von Früchten die Rede ist, weist es eher auf eine subtile Mathematik einfacher Zahlen hin. Denn von Früchten, deren Farbe, Geschmack, Geruch… ist nicht die Rede. Wohl aber von den ersten Primzahlen, 2, 3 und 5. Denn das Gedicht ist aus Zweier- und Dreierelementen aufgebaut. Drei Strophen, die 1., die 3. und die 5. beginnen leitmotivisch mit den Worten „Drei Orangen, zwei Zitronen“ getrennt von zwei Strophen, der 2. und der 4. die den Kontext des „Geschehens“ umreißen. Jede Strophe hat 4 Zeilen, von denen je zwei den Endreim enthalten. Um die Mittelachse der dritten Strophe gruppieren sich die jeweils oben und unten angrenzende 2. und 4. sowie die 1. und 5. Strophe, die auch inhaltlich in Beziehung stehen.
Der Vers mit der Primzahl 5 schließt nicht nur das Gedicht ab, sondern enthält als Summe auch noch die den Versaufbau und die leitmotivischen 2 Zitronen und 3 Orangen prägenden Primzahlen 2 und 3.
Dass die Mathematik eine besondere Rolle in dem durch die 5 Südfrüchte durchwirkten Gedicht eine besondere Rolle spielt, zeigen die im Kontrast dazu vorkommenden Begriffe „Gleichung“, „Formeln“, „Algebra“, die im „Mathematischen Entzücken“ ihren emotionalen Höhepunkt finden. Die drei süßen Orangen werden gewissermaßen durch die 2 sauren Zitronen geschmacklich auf die Neutralität einer Einheit reduziert, die einem in Form eines beziehungsreichen Zahlenspiels bleibt.

Der Mohn und die Zahl vier

In der Geometrie sind Zahlen und Zahlenverhältnisse der Inbegriff von mathematischer Exaktheit. Ein gezeichnetes oder auf andere Weise realisiertes Rechteck oder Dreieck ist es immer nur eine Annäherung an die geometrische Idealgestalt. Und wenn wir in der Natur geometrische Prinzipien zu erkennen glauben, so handelt es sich auch dort um mehr oder weniger perfekte Realisierungen.
Die auf dem Foto abgebildete Mohnblüte bringt in der einen oder anderen Weise die Vierzähligkeit zum Ausdruck: Vier Blütenblätter, die zudem näherungsweise so geformt sind, dass die Blüte nahezu quadratisch geformt ist, werden ergänzt durch vier dunkle Flecken, die sich wie verlaufende Tinte auf den weißen Blütenblättern ausgebreitet haben.
Das stimmt alles nur ungefähr, aber in diesen Abweichungen von der Idealgestalt bringt die Blüte ihre Individualität zum Ausdruck, derart, dass keine zwei Blüten exakt übereinstimmen. Und genau das macht einen wesentlichen Aspekt die Naturschönheit der Pflanzen aus.

42 – die Antwort auf alles.

Liebe Julia, heute beehrst du dich an deinem 42. Geburtstag mit der berühmtesten Zahl überhaupt. Denn nach dem bekannten Roman von Douglas Adams: „Per Anhalter durch die Galaxis“, der genau ein Jahr vor deiner Geburt erschien, gilt (was man nur im Original angemessen ausdrücken kann): The answer to the ultimate question of life, the universe and everything is 42. Jedenfalls hat der extrem leistungsstarke Computer Deep Thought dafür mehr als 7,5 Millionen Jahre rechnen müssen. Also vergiss es, dass du wegen Corona deinen 40 und 41 Geburtstag nicht angemessen feiern konntest, alles war auf die 42 ausgerichtet.
Dass die 42 keine gewöhnliche Zahl ist, dafür sprechen auch viele weitere Argumente, von denen ich nur einige nenne:
Im alten Ägypten musste ein Verstorbener während des Totengerichts vor 42 Richtern erklären, dass er in seinem Leben keine von 42 Sünden begangen hat.
In Tibet regierten 42 Könige. Nyatri Tsenpo, war der erste, der um 127 v. Chr. regierte, und Langdarma (von 836 bis 842) war der letzte.
Die Gutenberg-Bibel, das erste gedruckte Buch in Europa, hat 42 Textzeilen pro Spalte und trägt daher den Titel »zweiundvierzigzeilige Bibel«.
Aber die Zahl hat auch (darin ist sie ganz Zahl) zahlreiche mathematische Besonderheiten: Ich biete dir nur eine kleine Auswahl, damit du auch noch Zeit zum Feiern hast:
42 ist die Summe der ersten drei Zweierpotenzen mit ungeradem Exponenten (2¹+2³+2⁵=42).
42 ist die Summe der ersten beiden Potenzen von sechs (6¹+6²= 42), wobei die 6 ja bereits als eine ganz besondere Zahl beschrieben wurde.
42 ist eine Catalan-Zahl. Das ist eine sehr selten auftretende Zahl (lediglich 14 von ihnen sind kleiner als eine Million). Ich verschone dich mal mit weiteren Details.
42 ist eine »praktische« Zahl, das heißt, jede kleinere Zahl lässt sich als Summe einiger ihrer Teiler schreiben. Die ersten praktischen Zahlen sind 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72,….
Nach dieser Lektion solltest du in der Lage sein, diese Aussagen in der Zahl der Lichter auf dem Foto zu erkennen. Doch bevor du dich daran machst, wünsche ich dir erst einmal alles Gute für das neue Lebensjahr unter der Traumzahl 42.

Zehn mal vier ist vierzig

Lieber Jan, hast du schon einmal etwas über das chemische Element Zirkonium gehört? Dann solltest du das schnell nachholen, denn es ist das Element mit der Ordnungszahl 40. Und diese Zahl hast du heute in Jahren seit deiner Geburt erreicht. Dazu gratuliere ich dir ganz herzlich. Die Zahl 40 ist nicht nur deshalb eine ganz besondere Zahl, weil sie die 10 gleich 4 mal enthält, und die 10 als Anzahl unserer Finger (wie sonst hätte man das Rechnen erlernen können) unser Dezimalsystem bestimmt. Und auch die 4 ist eine sehr bedeutungsvolle Zahl, weil sie u. A. die erste zusammengesetzte Zahl und die erste Nichtprimzahl nach der 1 darstellt; sie ist zudem gerade und Quadratzahl. Sie gibt die Anzahl der 4 Himmelrichtungen an, die uns zur Orientierung in der Welt dienen, die der Auffassung der alten Griechen entsprechend aus 4 Elementen aufgebaut ist.
Noch wichtiger ist vielleicht, dass du ab heute das Recht hast, Bundespräsident zu werden. Denn laut Grundgesetz attestiert man einem 40 jährigen Menschen die nötige Reife, dieses Amt auszuüben. Da die Wahl gerade gewesen ist, hast du aber noch genügend Zeit, dir das gründlich zu überlegen. 😉
Schließlich ist die 40 eine Zahl von großer Symbolkraft in mehreren Kulturkreisen und Religionen. Ich will nur erwähnen, dass die Sintflut 40 Tage dauerte und Noah noch 40 Tage warten musste, als wieder Land in Sicht kam. Das Volk Israel wanderte 40 Tage durch die Wüste usw. usw.
Falls dir das Alter 40 trotzdem etwas ungeheuer vorkommt, weil du dich damit vielleicht zu alt fühlst, möchte ich folgendes zu bedenken geben: Geht man davon aus dass jedes Alter nach Jahrzehnten bemessen für bestimmte Ziele steht, die man im Leben erreicht habe sollte,  so sind wir deswegen oft etwas später dran, weil wir uns für vieles mehr Zeit nehmen. Ich denke da an die Ausbildung, an Reisen und andere angenehme Dinge. Darum kannst du getrost davon ausgehen, dass die 40 die neue 30 ist. Die Rechnung geht insofern auf, als auch die Lebenserwartung in der Zeit, in der du die 40 erarbeitet hast gestiegen ist. Das ist zumindest ein statistischer Trost.
So, nun hast du die Wahl, ob du dich mehr für den Inhalt des alterhwürdigen Schnapsglases oder für die optischen Phänomene interessierst, die der Lichtspalt aus dem Glas herausmodelliert.

Durchsichtige Zeiten

Liebe Julia, heute ist dein 41. Geburtstag, zu dem ich dir ganz herzlich gratuliere. Ich hoffe, du erinnerst dich an die Situation, die auf dem Foto zu sehen ist. Ich habe sie noch sehr deutlich vor Augen. Da du deinen 40. Geburtstag nicht feiern konntest und es in diesem Jahr noch nicht anders ist, summiert sich für das nächste Jahr so einiges auf, was sich in der Besonderheit der Zahl 42 niederschlägt. Aber denke nicht, dass die Zahl 41 uninteressant ist, oh nein! Sie ist zum einen eine Primzahl. Prim kommt von Primus, der Erste und heißt dann wohl in der weiblichen Form Prima. Jedenfalls nehmen wir es mal so. Des Weiteren liefert das Polynom n² + n + 41 für alle n von 0 bis 39 weitere Primzahlen – ohne Ausnahme. Kannst ja mal nachrechnen.
Und wenn wir schon beim Quadrieren sind, das Quadrat von 41 ergibt 1681 und das ist das Geburtsjahr von Georg Philipp Telemann (1681 – 1767). War das nicht dein Lieblingskomponist? Wie dem auch sei, du siehst auch die auf den ersten Blick nichtsagende 41 hat es in sich, das zeigt bereits darin, dass ihre Quersumme 5 ist. Und haben wir nicht 5 Finger an jeder Hand? Du wirst es merken, dass dich die 41 im positiven Sinne begleiten wird.

Dreimal dreizehn ist neununddreißig

Lieber Jan, kannst du dich erinnern, als ich damals anlässlich eines übertriebenen Wunsches mit den Worten vertröstete: „Wenn du dreimal so alt bist, dann können wir darüber reden…“ Damals war das für mich der Sankt Nimmerleinstag. Heute haben wir ihn erreicht. Aber zum Glück habe ich vergessen, um welchen Wunsch es konkret ging und hoffe, dass auch du dich nicht mehr daran erinnerst. Dafür kann ich dir heute im Internet zu deinem 39. Geburtstag gratulieren! Leider fällt in diesen Zeiten eine richtige Feier aus und wir hoffen, dass wir das in einem Jahr mit deinem 40. nachholen können. Weiterlesen →

Die Acht ist eine Runde Sache

An Lano: Zwar ist es noch kein herkömmlicher runder Geburtstag, den du lieber Lano heute feierst, aber das heute erreichte Alter von 8 Jahren ist eigentlich mehr als das. Denn die 8 kann man ganz einfach aus zwei Kreisen zusammensetzen und ich erinnere mich, dass du es beim Lernen Zahlen zu schreiben auch schon getan hast. Ich habe extra nicht gesagt, dass man die 8 aus zwei Nullen machen kann. Denn auch für zwei Nullen gilt immer noch: 0 = 00 = nix.
Außerdem hast du heute unsere Hausnummer erreicht und bist dabei, sie zu überholen. Weiterlesen →

Vierzig – Quarante

Du wirst heute 40 Jahre alt, liebe Julia. Vierzig heißt auf Französisch „quarante“ und das klingt nicht nur wie „Quarantäne“, sondern ist ihr begrifflicher Ursprung. Denn im 14. Jahrhundert wurden erstmalig in der Geschichte vierzigtägige Isolierzeiten zur Eindämmung von Pestepidemien verordnet. In der derzeitigen Corona-Krise betrifft dieser Zusammenhang die von dir geplante große Geburtstagsfeier gewissermaßen im tatsächlichen wie im wörtlichen Sinne. Da können eigentlich nur Ali Baba und seine 40 Räuber dahinter stecken. Denn an sich ist die 40 eine sehr bedeutungsvolle Zahl mit hoher Symbolkraft. So ist es kein Zufall, dass die Quarantäne gerade 40 Tage dauerte, spielt die Zahl doch in der Bibel eine große Rolle. So dauerte die Sintflut 40 Tage und Noah wartete noch 40 Tage als wieder Land in Sicht kam. Das Volk Israel wanderte 40 Tage durch die Wüste usw. usw. Weiterlesen →

Lano wird 7

Lieber Lano, du feierst heute deinen 7. Geburtstag im Zeichen des Regenbogens, der ja nach Isaac Newton (1642 – 1726), einem berühmten Physiker,  7 Farben hat. Dazu gratuliere ich dir ganz herzlich.
Mit der Zahl 7 hast du etwas ganz Besonderes erreicht. Denn der Bibel zufolge wurde die Welt in 7 Tagen geschaffen. Aber auch wenn einiges dafür spricht, dass es anders gewesen sein könnte, so kann man nicht daran zweifeln, dass es 7 Wochentage gibt und du in diesem deinen 7. Lebensjahr jedes deiner bisherigen Jahre einem dieser Wochentage zuordnen kannst.
Beim Vorlesen von Märchen wird dir vielleicht schon aufgefallen sein, dass auch dort die 7 eine wichtige Rolle spielt. So hat Schneewittchen 7 Zwerge bei sich und das tapfere Schneiderlein trifft 7 auf einen Streich. Weiterlesen →

Wie groß will nicht der kleine Lano sein…

Wie groß will nicht der kleine Lano sein!
Er steigt auf einen Stuhl: »Heida! bin ich noch klein?
Und bald will ich noch größer sein!«
Er steigt auf einen Berg
Und – ist ein Zwerg.

nach: Johann Gottfried Herder (1744 – 1803)

Lieber Lano, mit diesem kleinen Gedicht möchte ich dir zum heutigen Geburtstag gratulieren und alles Gute im Kreise deiner lieben Menschen und Hunde wünschen.
Da liegst du nun mit deinem kleinen Hundefreund auf dem Bauch und blickst in die Kamera. Als dieses Bild entstand – es ist noch nicht so lange her – warst du noch 4. Aber jetzt hast du den Sprung gewagt auf die nächste Stufe der Zahlenreihe.  Die 5 ist etwas ganz Besonderes. Sie kann nämlich alle ganzen Zahlen, die als letzte Ziffer eine Null oder Fünf haben, ohne Rest teilen. Und alle ungeraden Vielfachen von fünf enden wiederum mit der fünf, alle geraden Vielfachen mit der Null. So ist zwei mal 5 gleich 10. Außerdem ist sie eine Primzahl und zwar eine solche, die sich aus der Summe aller anderen Primzahlen, die kleiner sind als sie selbst bilden lässt.
Sie hat noch viele weitere Eigenschaften, die hier nicht alle aufgezählt werden können. Aber dass du 5 Finger an jeder Hand hast und 5 Zehen an jedem Fuß, kannst du leicht selbst nachzählen. Überprüfe mal, ob das bei deinen Hunden auch so ist.

Das verspiegelte Lebensrad

Herzlichen Glückwunsch, liebe Julia, nun geht es auf dem Lebensrad eine Sprosse weiter und das wird wohl ein Baum werden:

was brauchst du

was brauchst du? Einen Baum ein Haus zu
ermessen wie groß wie klein das Leben als Mensch
wie groß wie klein wenn du aufblickst zur Krone
dich verlierst in grüner üppiger Schönheit
wie groß wie klein bedenkst du wie kurz
dein Leben vergleichst du es mit dem Leben der Bäume Weiterlesen →

Magische Momente – der Sprung ins neue Lebensjahr

Die Geschichte von Peter Schlemihl lehrt uns, dass der Verlust des eigenen Schattens ein ernsthaftes Problem werden kann. Schon der Verlust des Kontakts zwischen Urbild und Schattenbild hat etwas Magisches. Zwar wird es meist nicht bemerkt und in vielen Alltagssituationen ist die Trennung auch nur temporär, denn die Angst, den Schatten zu verlieren und Schlemihls Leidensweg durchzumachen treibt den Ball schon bald zur Umkehr. Hat hier jemand was von Schwerkraft gesagt? Okay, die mag auch eine gewisse Rolle spielen. Aber entscheidend ist die Verlustangst.
Es heißt: dass der Moment der Loslösung vom Schatten genutzt werden kann, sich etwas zu wünschen. Im vorliegenden Fall ist es nur der Ball, der diesen Moment erlebt. Er ist sogar daran gewöhnt, immer wieder wider Willen in die Luft gejagt zu werden. Aber er kommt auch immer wieder zur Erde zurück. (Die Erde hat mich wieder.) Aber wie ist es mit einem springenden Menschen?
Lano, du springt heute vom 2. ins 3. Lebensjahr. Dazu gratulieren wir dir sehr herzlich. An solchen Tagen gehen Wünsche gewöhnlich auch ohne solaren Schatten in Erfüllung.

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